Taylorpolynom av irrationella funktioner

Jag har börjat lära mig om MacLaurin- och Taylorpolynom, och jag har en fundering.

Om man T. ex. gör ett MacLaurinpolynom av ordning 4 av funktionen f(x) = sin(x), så är det ju ganska lätt.

Derivatorna blir bara cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x) o.s.v. och värdena vid x = 0 är ju också lätta att få fram.

Men vad gör man om man vill få fram ett Taylorpolynom av samma funktion, med en baspunkt som inte är lätt att använda sin() på?

Säg att du vill ta fram ett Taylorpolynom av ordning 4 med baspunkt 1,8.

$P (x) = \sin (1.8) + \frac{\cos (1.8)}{1!} (x - 1.8) - \frac{\sin (1.8)}{2!} {(x - 1.8)}^{2} - \frac{\cos (1.8)}{3!} {(x - 1.8)}^{3} + \frac{\sin (1.8)}{4!} {(x - 1.8)}^{4}$

Hur ska jag nu bära mig åt med alla cos(1.8) och sin(1.8)? Jag kan ju slå det på miniräknaren, men tappar man inte poängen med att göra polynomet till att börja med isåfall?

Samma fråga angående e^x, om man har en baspunkt som inte är 0 eller 1.

Poäng och poäng, det är så taylorpolynomet blir.

Ja ok då. Det slog mig att om man väljer baspunkten till något som genom sinus blir rationellt så löses problemet. För x = 1,8 kanske man skulle välja $\frac{π}{2} \approx 1, 57$ .

Men vad gör man för e^x vid högre värden då? De enda rationella funktionsvärdena är väl vid 0 och 1.

Svara