Taylorpolynom

Det ser bra ut (med förvarning om att jag inte är en expert på området). För att verifiera att de är lika, utveckla parenteserna i Taylorpolynomet, och se om du kan förenkla det till $y=1+x+x^{2}$.

Hur har du räknat?

Derivatorna av ett polynom är ju ganska enkla att beräkna, så det bör inte vara så svårt att Taylorutveckla.

Ja, det går att göra som Smutstvätt föreslår eftersom polynomen i det här fallet måste vara lika, de är bara skrivna på lite olika form.

Din lösning är mer generell för Taylorutveckling, men just i det här fallet när vi vet att polynomen blir lika hade man kunnat lösa det enligt följande:

$t=x-1 \Rightarrow x=t+1$

$1+x+x^2 = 1+t+1+(t+1)^2 =$

$2+t+t^2+2t+1=t^2+3t+3 =$

$(x-1{)}^2+3(x-1)+3$

AlvinB skrev:

Hur har du räknat?

Derivatorna av ett polynom är ju ganska enkla att beräkna, så det bör inte vara så svårt att Taylorutveckla.

 Jag var osäker om jag räknade rätt när det kommer till Taylorpolynomet. Jag vet att mes tanke på att det är en andragradsekvation så derivera jag 2 gånger. Därefter så lade jag till detta i Taylorformeln (om jag har förstått rätt) och därefter fått ett svar.

Frågan är hur jag ska verifiera detta?

tomast80 skrev:

Ja, det går att göra som Smutstvätt föreslår eftersom polynomen i det här fallet måste vara lika, de är bara skrivna på lite olika form.

Din lösning är mer generell för Taylorutveckling, men just i det här fallet när vi vet att polynomen blir lika hade man kunnat lösa det enligt följande:

$t=x-1 \Rightarrow x=t+1$

$1+x+x^2 = 1+t+1+(t+1)^2 =$

$2+t+t^2+2t+1=t^2+3t+3 =$

$(x-1{)}^2+3(x-1)+3$

 Är det så man gör när man ska använda sig av Taylorpolynom? Om jag hade gjort på det här viset under tentamen, är detta ett fel sätt att räkna ut?

Hurricaneeee skrev:

tomast80 skrev:

Ja, det går att göra som Smutstvätt föreslår eftersom polynomen i det här fallet måste vara lika, de är bara skrivna på lite olika form.

Din lösning är mer generell för Taylorutveckling, men just i det här fallet när vi vet att polynomen blir lika hade man kunnat lösa det enligt följande:

$t=x-1 \Rightarrow x=t+1$

$1+x+x^2 = 1+t+1+(t+1)^2 =$

$2+t+t^2+2t+1=t^2+3t+3 =$

$(x-1{)}^2+3(x-1)+3$

 Är det så man gör när man ska använda sig av Taylorpolynom? Om jag hade gjort på det här viset under tentamen, är detta ett fel sätt att räkna ut?

 Ditt sätt är generellt det korrekta sättet och det fungerar alltid. Dock, i detta fall, eftersom du ska utveckla Taylor-polynomet till samma grad som det ursprungliga så måste det vara samma polynom som det ursprungliga eftersom det bara finns ett sådant som uppfyller villkoren i Taylor-utvecklingen. Om du förklarar detta borde min lösning ge rätt, men är du lite osäker bör du gå på definitionen, som du gjorde. Min metod var lite ”överkurs”.

Generellt, för att kontrollera att ditt Taylor-polynom är korrekt så säkerställ att:

$f(a)=p(a)$

$f'(a)=p'(a)$

o.s.v.