Taylor utveckling av skalärfält

Hur brukar du göra en taylorutveckling?

Det blir kanske enklare om du först ser $\delta \varphi$ som en envariabelfunktion i variabeln $\epsilon$.

$\delta \varphi \left(\epsilon \right) = \delta \varphi \left(0\right) + \epsilon ·\frac{d\delta \varphi }{d\epsilon }\left(0\right) + \mathcal{O}\left({\epsilon }^2\right)$, sedan får du använda kedjeregeln för flervariabelfunktioner för att utvärdera derivatan i formeln.

Micimacko skrev:

Hur brukar du göra en taylorutveckling?

Glömde bort ganska mycket, minns inte riktigt för en vektor men för envar så får man summan av n:te derivatan genom n! * (x-a) där a är punkten vi utvecklar på.

Tänker vi en godtycklig punkt här? Varför står det $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ innan för första termen?

Är det med avseende på epsilon vi deriverar? 

Du kan även utnyttja flervariabelns Taylor-formel, som jag utan bevis skriver upp nedan.

$\psi \left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{h}\right) = \psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{2!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^2\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{3!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^3\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+...$

Hej,

Man betraktar $\epsilon \mapsto \phi(x+\epsilon a)$ som en funktion $f : [0,1]\to \mathbb{R}$ där $f(\epsilon) = \phi(x+\epsilon a).$

Taylorutveckling (egentligen Maclaurinutveckling) av denna funktion är

    $f(\epsilon) = f(0) + f^\prime(0) \epsilon + o(\epsilon)$

där lilla ordo $o(\epsilon)$ betecknar en funktion sådan att $\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o(\epsilon)}{\epsilon}=0.$ Du noterar att $f(0) = \phi(x)$ och $f^\prime(0)$ är riktningsderivatan av skalärfältet i riktningen $a$, det vill säga

    $f^\prime(0) = a \cdot \nabla \phi(x).$

Då blir förändringen hos skalärfältet

    $\delta \phi = \epsilon (a \cdot \nabla \phi(x)) + o(\epsilon)$

så att

    $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\delta \phi\left(x\right)}{\epsilon} = a\cdot \nabla \phi\left(x\right) + \underbrace{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o\left(\epsilon\right)}{\epsilon}}_{=0}.$

Albiki skrev:

Hej,

Man betraktar $\epsilon \mapsto \phi(x+\epsilon a)$ som en funktion $f : [0,1]\to \mathbb{R}$ där $f(\epsilon) = \phi(x+\epsilon a).$

Taylorutveckling (egentligen Maclaurinutveckling) av denna funktion är

    $f(\epsilon) = f(0) + f^\prime(0) \epsilon + o(\epsilon)$

där lilla ordo $o(\epsilon)$ betecknar en funktion sådan att $\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o(\epsilon)}{\epsilon}=0.$ Du noterar att $f(0) = \phi(x)$ och $f^\prime(0)$ är riktningsderivatan av skalärfältet i riktningen $a$, det vill säga

    $f^\prime(0) = a \cdot \nabla \phi(x).$

Då blir förändringen hos skalärfältet

    $\delta \phi = \epsilon (a \cdot \nabla \phi(x)) + o(\epsilon)$

så att

    $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\delta \phi\left(x\right)}{\epsilon} = a\cdot \nabla \phi\left(x\right) + \underbrace{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o\left(\epsilon\right)}{\epsilon}}_{=0}.$

Tack!

Ah, förstår alla steg men har lite frågor så saker blir glasklart.

1. Utvecklar vi endast $\varphi \left(\overrightarrow{x}+ϵ\overrightarrow{a}\right)$ och inte $-\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ eller är det också inbakad?

2. För vektor tar vi separata partiella derivator så att vi får en summa $a^i\partial i$?

3. Det ser ut som stora ordo med epsilon i kvadrat, är det samma som lilla ordo av epsilon? Och hur vet vi vilken ordo vi får, kanske graden av $ϵ\overrightarrow{a}$?

PATENTERAMERA skrev:

Du kan även utnyttja flervariabelns Taylor-formel, som jag utan bevis skriver upp nedan.

$\psi \left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{h}\right) = \psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{2!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^2\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{3!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^3\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+...$

Tack! Det här svarar på min andra fråga dvs. gradienten av $\psi$vid beräkning av vektor, och i vårt fall lägger vi bara till epsilon framför $\overrightarrow{h}$ och deriverar m.a.v. på epsilon. Men andra termen borde vara $ϵ\overrightarrow{a}\partial i\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ än komponenter av a. Eller nvm, om man skalärmultiplicerar epsilon med a så får man komponenterna a_i med epsilon. Men i h fallet så deriverar vi m.a.v. På h så vi får 1 som inrederivatan och får endast h * nabla isället för i det andra faller.

Taylorutveckling är sammanskriven märkte jag hahah

PATENTERAMERA skrev:

Du kan även utnyttja flervariabelns Taylor-formel, som jag utan bevis skriver upp nedan.

$\psi \left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{h}\right) = \psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{2!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^2\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+\frac{1}{3!}{\left(\overrightarrow{h}\bullet \nabla \right)}^3\psi \left(\overrightarrow{x}\right)+...$

Fast hur funkar gradienten med andra derivatan? Vi kan derivera med xx, xy, yy men grad är bara xx, yy?

Du sätter helt enkelt $\overrightarrow{h}$ = $ϵ\overrightarrow{a}$ i formeln och tar med de två första termerna och sammanfattar resten av termerna som O(${ϵ}^2$).

$\varphi \left(\overrightarrow{x}+ϵ\overrightarrow{a}\right)$ = $\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ + $ϵ\overrightarrow{a}$•$\nabla \varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ + O(${ϵ}^2$).

Zeshen skrev:

Albiki skrev:

Visa spoiler

Hej,

Man betraktar $\epsilon \mapsto \phi(x+\epsilon a)$ som en funktion $f : [0,1]\to \mathbb{R}$ där $f(\epsilon) = \phi(x+\epsilon a).$

Taylorutveckling (egentligen Maclaurinutveckling) av denna funktion är

    $f(\epsilon) = f(0) + f^\prime(0) \epsilon + o(\epsilon)$

där lilla ordo $o(\epsilon)$ betecknar en funktion sådan att $\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o(\epsilon)}{\epsilon}=0.$ Du noterar att $f(0) = \phi(x)$ och $f^\prime(0)$ är riktningsderivatan av skalärfältet i riktningen $a$, det vill säga

    $f^\prime(0) = a \cdot \nabla \phi(x).$

Då blir förändringen hos skalärfältet

    $\delta \phi = \epsilon (a \cdot \nabla \phi(x)) + o(\epsilon)$

så att

    $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\delta \phi\left(x\right)}{\epsilon} = a\cdot \nabla \phi\left(x\right) + \underbrace{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o\left(\epsilon\right)}{\epsilon}}_{=0}.$

 

 

Tack!

Ah, förstår alla steg men har lite frågor så saker blir glasklart.

1. Utvecklar vi endast $\varphi \left(\overrightarrow{x}+ϵ\overrightarrow{a}\right)$ och inte $-\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ eller är det också inbakad?

2. För vektor tar vi separata partiella derivator så att vi får en summa $a^i\partial i$?

3. Det ser ut som stora ordo med epsilon i kvadrat, är det samma som lilla ordo av epsilon? Och hur vet vi vilken ordo vi får, kanske graden av $ϵ\overrightarrow{a}$?

1. Ja, termen $\phi(x)$ finns inbakad i Taylorutvecklingen som $f(0)$.

2. Summan som skrivs $a^{i}\partial_i$ är riktningsderivatan, som jag skriver som skalärprodukten $a\cdot \nabla$

3. Ja, stora ordo $O(\epsilon^2)$ är samma sak som lilla ordo $o(\epsilon)$; lilla ordo är mer användbart än stora ordo som du ser i slutet på mitt tidigare inlägg där kvoten $o(\epsilon)/\epsilon$ går mot noll.

PATENTERAMERA skrev:

Du sätter helt enkelt $\overrightarrow{h}$ = $ϵ\overrightarrow{a}$ i formeln och tar med de två första termerna och sammanfattar resten av termerna som O(${ϵ}^2$).

$\varphi \left(\overrightarrow{x}+ϵ\overrightarrow{a}\right)$ = $\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ + $ϵ\overrightarrow{a}$•$\nabla \varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ + O(${ϵ}^2$).

Yes, tack!

Albiki skrev:

Zeshen skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

Visa spoiler

Hej,

Man betraktar $\epsilon \mapsto \phi(x+\epsilon a)$ som en funktion $f : [0,1]\to \mathbb{R}$ där $f(\epsilon) = \phi(x+\epsilon a).$

Taylorutveckling (egentligen Maclaurinutveckling) av denna funktion är

    $f(\epsilon) = f(0) + f^\prime(0) \epsilon + o(\epsilon)$

där lilla ordo $o(\epsilon)$ betecknar en funktion sådan att $\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o(\epsilon)}{\epsilon}=0.$ Du noterar att $f(0) = \phi(x)$ och $f^\prime(0)$ är riktningsderivatan av skalärfältet i riktningen $a$, det vill säga

    $f^\prime(0) = a \cdot \nabla \phi(x).$

Då blir förändringen hos skalärfältet

    $\delta \phi = \epsilon (a \cdot \nabla \phi(x)) + o(\epsilon)$

så att

    $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\delta \phi\left(x\right)}{\epsilon} = a\cdot \nabla \phi\left(x\right) + \underbrace{\lim_{\epsilon \to 0} \frac{o\left(\epsilon\right)}{\epsilon}}_{=0}.$

 

 

Tack!

Ah, förstår alla steg men har lite frågor så saker blir glasklart.

1. Utvecklar vi endast $\varphi \left(\overrightarrow{x}+ϵ\overrightarrow{a}\right)$ och inte $-\varphi \left(\overrightarrow{x}\right)$ eller är det också inbakad?

2. För vektor tar vi separata partiella derivator så att vi får en summa $a^i\partial i$?

3. Det ser ut som stora ordo med epsilon i kvadrat, är det samma som lilla ordo av epsilon? Och hur vet vi vilken ordo vi får, kanske graden av $ϵ\overrightarrow{a}$?

1. Ja, termen $\phi(x)$ finns inbakad i Taylorutvecklingen som $f(0)$.

2. Summan som skrivs $a^{i}\partial_i$ är riktningsderivatan, som jag skriver som skalärprodukten $a\cdot \nabla$

3. Ja, stora ordo $O(\epsilon^2)$ är samma sak som lilla ordo $o(\epsilon)$; lilla ordo är mer användbart än stora ordo som du ser i slutet på mitt tidigare inlägg där kvoten $o(\epsilon)/\epsilon$ går mot noll.

1. Just det, f(0) - f(0) tar ut varandra sen. (löst)

2. Jaha, så din a är en vektor, sant. (löst)

3. Aaa precis men varför är O(ϵ^2) = o(ϵ)? Stora ordo går mot en konstant för ϵ^2 —>$\infty$ va

Så här fick vi lära oss när jag gick på KTH.

Vi säger att f(x) = O(xⁿ) (då x går mot noll) om det finns två tal d, M > 0 sådana att

|x| < d $\Rightarrow$ |f(x)| $\le$ M|x|ⁿ.

Vi säger att f(x) = o(xⁿ) (då x går mot noll) om för varje tal m > 0 det går att finna ett tal d > 0 sådant att

|x| < d $\Rightarrow$ |f(x)| $\le$ m|x|ⁿ.

PATENTERAMERA skrev:

Så här fick vi lära oss när jag gick på KTH.

Vi säger att f(x) = O(xⁿ) (då x går mot noll) om det finns två tal d, M > 0 sådana att

|x| < d $\Rightarrow$ |f(x)| $\le$ M|x|ⁿ.

Vi säger att f(x) = o(xⁿ) (då x går mot noll) om för varje tal m > 0 det går att finna ett tal d > 0 sådant att

|x| < d $\Rightarrow$ |f(x)| $\le$ m|x|ⁿ.

Tack, så stora ordo är om det finns minst två tal d, M medan lilla ordo är för alla m > 0.

Precis. Du kan visa att f(x) = o(x), med definitionen ovan, är liktydigt med villkoren

f(0) = 0

$\underset{x\to 0}{\lim }$$\frac{f\left(x\right)}{x}$ = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Du kan visa att f(x) = o(x), med definitionen ovan, är liktydigt med villkoren

f(0) = 0

$\underset{x\to 0}{\lim }$$\frac{f\left(x\right)}{x}$ = 0.

Alright, tack!