Taylor-polynom

Det kan bli så om derivatan av grad 2 och högre är noll.

Dessutom har du antagit att funktionen du jobbar med är analytisk. Detta kallas för en Maclaurin-utveckling. :)

EDIT: Läste inte rätt. 

Svaret på din fråga kan du nog komma fram till själv om du funderar lite kring principen till Taylorutvecklingar. Skulle du kunna beskriva med egna ord vad en Taylorutveckling är?

Jag vet inte om jag kan beskriva i ord mer än ovan, att man vill skriva om en funktion till ett polynom som är lättare att arbeta med samt att de högre graderna tillåter "kurviga" funktioner.

Men det är inte uppenbart för mig varför tex $x^2$-termen multipliceras med andraderivatan. 

Av nyfikenhet, vad menar du med ordet analytisk, varför är Maclaurinutveckling analytisk men inte Tayolrutveckling? 

Jag ser nu att att mitt exempel ovan inte skulle ge andraderviatan om jag deriverade två gånger, och vi vill ju att derivatorna ska vara samma i den ursprungliga funktionen och Taylorpolynomet. 

Men jag förstår fortfarande inte intuitivt eller geometriskt varför tex $x^2$-termen multipliceras med andraderivatan osv.

Jag var kanske otydlig. En Taylorutveckling kallas för en Maclaurinutveckling då man gör den i $a=0$.

Att en funktion $P(x)$ är analytisk innebär att summan nedan konvergerar mot $P(x)$ oavsett vilket värde på $a$ man väljer.

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{P^n(a)}{n!}\left(x-a\right)$

Det jag menade med resonemanget är att du borde fundera på hur man kommer fram till Taylorutvecklingar. Det är ju inte som om man bara höftar fram polynomutvecklingar, utan det finns ju en logik bakom. Jag föreslår att du läser på om teorin, förslagsvis på Wikipedia.

Det här klippet kanske kan hjälpa dig på vägen. 

https://youtu.be/3d6DsjIBzJ4?si=QHCzQhMbMpNpTyQB

Jag förstår att man inte höftar fram polynomutvecklingar och jag blir nyfiken på vad i mina frågor som får mig att framstå i denna dager? Jag är uppenbarligen ett exempel på någon som begriper logiken till viss del men inte har lagt hela det intuitiva pusslet.

Om jag tillexempel vill approximera en funktion $f(x)$ med ett förstagradspolynom är det intuitivt begripligt för mig att $f'(a)(x-a)$ representerar framfart i lutningen i $(a,f(a))$ för varje steg i $x$.  

Vi vill ju också att andraderivatorna för $f(x)$ och Taylorpolynomet ska vara samma så att kurvorna svänger med samma hastighet. Det är NU som det blir oklart för mig. Om vi introducerar en $x^2$-term så är det först nu som polynomen börjar "svänga" och vi vill skala hur mycket det ska ske genom koefficienten framför. Och om koefficienten är  $f^{(2)}(a)/2$ så svänger tydligen Taylorpolynomet lika snabbt i omgivningen runt $a$ som för $f(a)$.

Jag kanske förstod lite mer nu bara genom att skriva. Men lite flummigt känns det fortfarande. Alla högre termer får kurvan att svänga. Det är inte uppenbart för mig detta konsekventa ihopkopplande av n-te derivatan av $f(x)$ och n-te termen i Taylorpolynomet. Borde det vara uppenbart för någon som sett https://youtu.be/3d6DsjIBzJ4?si=QHCzQhMbMpNpTyQB För det är det inte för mig :)

Okej, nu tror jag att jag förstår din fråga bättre. Jag skriver mer ikväll såvida ingen redan har svarat då.

Jag ska försöka ge en förklaring för varför man väljer koefficienten på det sättet. 

Låt säga att vi vill skriva om $f(x)=\cos x$ som ett polynom i punkten $x=0$, alltså på formen $\displaystyle p(x)=a_0x^{0}+a_1x^1+a_2x^2+...$

Det blir uppenbart att $a_0 = \cos 0 = 1$. Då kan vi skriva vårt polynom som $\displaystyle p(x) = 1+a_1x^1+a_2x^2+...$

Resten av koefficienterna vill vi också bestämma på något sätt. En väldigt finurlig strategi är att titta på hur funktionen förändras i punkten $x=0$, och detta är hela intuitionen bakom Taylorutvecklingar. Vi ser att $f'(0) = 0$, samt att $p'(0) = a_1$. Det betyder att $a_1 = 0$. Nu har vi alltså att $p(x) = 1+a_2x^2+...$. Vi vill att andraderivatorna ska stämma överens också. Vi ser att $f''(0) = -1$, samt att $p''(0) = 2!\cdot a_2$. Då måste $a_2 = -1/2!$.

Så här kan vi fortsätta hur många gånger vi än vill, och då kommer vi komma fram till något på formen:

$\displaystyle p\left(x \right) = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-... = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^n(0)}{n!}x^n$

Detta är i princip det som beskrivs i videon ovan. Det kan tyckas vara lite magiskt att man kan "polynomisera" en funktion genom att bara derivera den om och om igen i en enda punkt. Jag förundras faktiskt fortfarande över hur en enda punkt kan innehålla tillräckligt mycket information för att man ska kunna beskriva funktionen som ett polynom. En (förhoppningsvis intuitiv) förklaring till att detta fungerar är att om två funktioner (som uppfyller vissa kriterier, t.ex. att den ena inte är diskontinuerlig någonstans) förändras exakt likadant i samma punkt måste de vara samma funktion överallt.

Tack! Det här var hjälpsamt: "En (förhoppningsvis intuitiv) förklaring till att detta fungerar är att om två funktioner (som uppfyller vissa kriterier, t.ex. att den ena inte är diskontinuerlig någonstans) förändras exakt likadant i samma punkt måste de vara samma funktion överallt."

Här kommer kanske en störig följdfråga :) Är det möjligt i princip att göra en minst lika bra approximering av säg cos(x) om vi använder ditt $p(x)$ men måste utesluta tex den andra termen?

Jag vill bara betona att det oändliga polynomet $p(x)$ jag beskrev i inlägget ovan exakt motsvarar $\cos x$. Det är alltså ingen approximering. Men om du bara skulle vilja ha en approximering och således bara skapa en delsumma:

Det beror nog på tillämpningen. Om vi ska betrakta något där $x$ är mycket nära noll så kommer de första termerna spela mycket stor roll jämfört med de efterkommande termerna. Men approximeringen kommer inte bli minst lika bra, den kommer bara bli sämre.

Tack! Det här var hjälpsamt: "En (förhoppningsvis intuitiv) förklaring till att detta fungerar är att om två funktioner (som uppfyller vissa kriterier, t.ex. att den ena inte är diskontinuerlig någonstans) förändras exakt likadant i samma punkt måste de vara samma funktion överallt."

Vad bra att det var hjälpsamt. I själva verket är det en sanning med modifikation. Det gäller för funktioner som är analytiska. Men det är lite komplicerat.

Tack så mycket!