Taylor/MacLaurin

Tamino2 skrev:

"Beräkna f⁽⁴¹⁾(0) om f(x)=x ³ cos(4x)^. Det går bra att svara med numeriska uttryck som inte är uträknade, t ex 17!*13 ¹⁹."

Vi har senast arbetat med Taylor-formeln och MacLaurin-polynom så jag har försökt skriva upp någon sorts formel för det;

x³cos(4x) = x³ -8x⁵ +(32/3)x⁷ -(256/45)x⁹+...+x³ *((-1)n/(2*n)!)*x^2*n+R_2n+2

Sedan då det är f⁽⁴¹⁾(0) så sätter jag n=41

f⁽⁴¹⁾(x)=x³ -8x⁵ +(32/3)x⁷ -(256/45)x⁹+...+x³ *((-1)⁴¹/(2*41)!)*x^2*41+R_2*41+2

Men då x=0 är det endast rest-termen som är aktuell, men fastnar lite i hur jag ska beräkna den.

Har också försökt derivera uttrycket till 41 ledet, x³ försvinner då, cos x deriveras 41 gånger vilket enligt min utträkning -sin x. Men det är cos 4x så därför satte jag 4⁴¹(-sin(4x)) men       sin 0 = 0.

Hur ska jag göra?

Kan man ej tänka här att eftersom n=41 vilket är udda så deriverar man till tredje ordningen och sätter in f'41(0)? Du får ju veta vad derivatan blir då n=3 dvs tredje derivata vilket är samma sak som f'41

destiny99 skrev:

Tamino2 skrev:

"Beräkna f⁽⁴¹⁾(0) om f(x)=x ³ cos(4x)^. Det går bra att svara med numeriska uttryck som inte är uträknade, t ex 17!*13 ¹⁹."

Vi har senast arbetat med Taylor-formeln och MacLaurin-polynom så jag har försökt skriva upp någon sorts formel för det;

x³cos(4x) = x³ -8x⁵ +(32/3)x⁷ -(256/45)x⁹+...+x³ *((-1)n/(2*n)!)*x^2*n+R_2n+2

Sedan då det är f⁽⁴¹⁾(0) så sätter jag n=41

f⁽⁴¹⁾(x)=x³ -8x⁵ +(32/3)x⁷ -(256/45)x⁹+...+x³ *((-1)⁴¹/(2*41)!)*x^2*41+R_2*41+2

Men då x=0 är det endast rest-termen som är aktuell, men fastnar lite i hur jag ska beräkna den.

Har också försökt derivera uttrycket till 41 ledet, x³ försvinner då, cos x deriveras 41 gånger vilket enligt min utträkning -sin x. Men det är cos 4x så därför satte jag 4⁴¹(-sin(4x)) men       sin 0 = 0.

Hur ska jag göra?

Kan man ej tänka här att eftersom n=41 vilket är udda så deriverar man till tredje ordningen och sätter in f'41(0)? Du får ju veta vad derivatan blir då n=3 dvs tredje derivata vilket är samma sak som f'41

Tredje derivatan av uttrycket blir 6*sin(4x) men då x ska vara = 0 så blir hela uttrycket 0 men det är inte rätt svar så man måste derivera till ett uttryck utan sinus för att få något annat än 0

Utnyttja Maclaurinutvecklingens entydihet.

Om du kunnat utveckla en funktion f enligt

$f\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{41}{x}^{41}+O\left(x^{42}\right)$

så är detta med nödvändighet Maclaurinutvecklingen (givet att funktionen kan Maclaurinutvecklas så långt).

Dvs vi har att $f^{\left(41\right)}\left(0\right)=41!·a_{41}.$