Taylor & Maclauren utvecklingar

Hej, försöker lära mig om hur jag ska använda Maclauren utvecklingar för att approximera funktioner. Boken är fåordig när det kommer till lösningsförslag och vänder mig därför hit.

Uppgiften är att approximera funktionen exp(sin x), m.h.a Maclauren utv. till den fjärde ordningen.

Villkoren för en Maclauren utveckling är att

1) Funktionen är kontinuerligt kring ett område kring 0 och n+1 deriverbar

2) Resttermen kan skrivas på svagform <=> Kräver att resttermen kan skrivas som ett polynom multiplicerat med en begränsad funktion. Denna måste vara definerad kring 0.

Har använt mig av standardutvecklingarna och försökt utveckla på ett flertal olika sätt men kommer inte fram till rätt svar.

sin(x) = x - (1/6)*x^3 + x^5 * B_1(x)

exp(t) = 1 + t + (1/2)*t + (1/2)*t^2 + (1/6)*t^3 + (1/24)*t^4 + t^5*B_2(t)

E.x

exp(sin(x)) = exp(x - (1/6)*x^3 + x^5 * B_1(x)) = exp(x) * exp(- (1/6)*x^3) * exp(x^5 * B_1(x)) sedan utveckling av exp(t) med standardutv. Väljer att räkna till andra ordningen eftersom en term innehåller x^3 (är nog fel).

Det jag undrar är

1) Hur många utvecklingar ska en göra för att få ett korrekt svar? Hur kan man tänka?

En perfekt approximation (bortsett från punkten där en MacLaurinutvecklar) får du inte (möjligtvis om oändliga summor räknas, kanske), men du kan få en approximation som är tillräckligt bra. MacLaurinutvecklingen av grad n har felet $\frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} \cdot x^{n + 1}$ , $c \in [0, x]$ . Om vi maximerar felet (med hjälp av c) kan vi se hur stort felet maximalt kan bli. Om vi vill hitta ett ungefärligt värde för att göra en rimlighetsuppskattning, kanske vi nöjer oss med felet 0,5, men om vi ska bygga en bro kanske vi kräver att felet ska vara mindre än säg, 0,0001. :)

Du vill ha upp till fjärde ordningen, så exp(sin(x)) = (1+x)(1-x³/6), om jag ignorerar resttermerna helt.

Varför valde du bara upp till andra ordningen?

Laguna skrev:
Du vill ha upp till fjärde ordningen, så exp(sin(x)) = (1+x)(1-x³/6), om jag ignorerar resttermerna helt.

Varför valde du bara upp till andra ordningen?

Hej,

Det är inte multiplikation som är aktuellt här, utan sammansatt avbildning, $e^{\sin x}$ .

Albiki skrev:
Laguna skrev:
Du vill ha upp till fjärde ordningen, så exp(sin(x)) = (1+x)(1-x³/6), om jag ignorerar resttermerna helt.

Varför valde du bara upp till andra ordningen?

Hej,

Det är inte multiplikation som är aktuellt här, utan sammansatt avbildning, $e^{\sin x}$ .

Titta på uttrycket som frågeställaren kommit fram till efter förenkling.

Svara

Visa senaste svar