Taylors formel, flervariabel

Hej, har funderingar kring taylors formel. Säg att jag vill ha taylorpolynomet för e^xy kring origo. Kan jag då helt enkelt sätta in xy i den vanliga standardutvecklingen för e^t? Och om jag kan det, varför?

Edit: Inser att det kanske var ett dåligt exempel eftersom jag kan skriva det som en produkt av envariabelfunktioner. Men ett bättre exempel kanske är arctan(x+y)

I den vanliga standardutvecklingen för $e^t$ har du förstaderivatan, andraderivatan, tredjederivatan och så vidare med avseende på variabeln $t$ . Vad hade du tänkt derivera med avseende på i uttrycket för $e^{xy}$ ?

Standardutvecklingen kring 0 är ju $e^{t} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2}$ osv. Så här hade det ju varit möjligt att sätta in t=xy. Det verkar som man får rätt svar om man tar med första termen. Då får man $e^{x y} = 1 + x y + O (^{{|\overset{⇀}{x}|}^{4}}),$ där $\overset{⇀}{x} = (x, y)$ . Samma svar fås om man gör det mha taylors formel i flera variabler, med nackdelen att man måste partialderivera.

Du kan inte sätta in $xy$ istället för $t$ i Maclaurinutvecklingen av funktionen $e^{t}$ för att få Maclaurinutvecklingen för funktionen $e^{xy}$ ; det du får när du gör det är nämligen inte en Maclaurinutveckling.

Maclaurinutveckling av en reellvärd funktion $f(x,y)$ är

$f(0,0) + f^{'}_{x}(0,0)x + f^{'}_y(0,0)y + \cdots$ .

Jo, men just denna funktionen hade ju part.derivator lika med 0. Den enda nollskillda derivatan blev ju $f'_{x y}$ vilket stämde i detta fall. Men detta gäller alltså inte allmänt?

Hittade nu svaret på min fråga. Det är möjlugt att göra denna substitutionen. Om någon hittar denna tråd och har samma fråga finns en kort motivering i Person Böiers Analys i flera variabler sidan 98.

Svara

Visa senaste svar