Taylor

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med att lösa följande med hjälp av Taylor formler

$\ln (1 + {(a r c \tan x)}^{2})$

det blir ju två delar man ska bestämma och sedan sätta ihop. Först har vi

$\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + x^{3}$

och sedan har vi $a r c \tan x = x - \frac{x^{3}}{3} + x^{5}$ som ger att ${(a r c \tan x)}^{2} = x^{2} - \frac{2 x^{4}}{3} + x^{5}$

men jag har lite problem med att sätta ihop dom efter detta steg.

det ska bli $\ln (1 + {(a r c \tan x)}^{2}) = x^{2} - \frac{2 x^{4}}{3} - \frac{x^{4}}{2} + x^{5}$ men jag förstår inte var $- \frac{x^{4}}{2}$ kommer ifrån.

Det kommer från första ordningens term i arctan, insatt i andra ordningens term för ln(1+x).

Sätt $f(x)=(\arctan(x))^2=x^2 -\frac{2x^4}{3}+O(x^6)$ så får du

$\ln(1+(\arctan(c))^2)=f(x)-\frac{f(x)^2}{2}+...=(x^2 -\frac{2x^4}{3}+...) +\frac{(x^2 -\frac{2x^4}{3}+...)^2}{2}+...$

Från den sista kvoten kommertermen x^4/2 med lägre gradtal än 6.

Svara