Täthet

Det A som du definierar är ett vanligt intervall. Är det meningen? Alla delintervall av A ligger väl i A (eller är delmängder, snarare).

Vad betyder $\Delta$?

Laguna skrev:

Det A som du definierar är ett vanligt intervall. Är det meningen? Alla delintervall av A ligger väl i A (eller är delmängder, snarare).

Vad betyder $$\Delta$

A är (var) menat att vara ett arbiträrt intervall, Jag har en uppgift då man ska visa att om $f\left(x\right)=0$ för alla x i en tät reell mängd $A$ så gäller det även för alla $x$ i $\mathrm{ℝ}$ ( ovanstående funktionen $f$ är kontinuerlig), Så min idé var att visa 1. $A$ är inte tom 2. Visa att $A$ utgör intervall över hela tallinjen, 

$∆$ är menat att representera en punkt i $\left(\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right)$ som också är i $A$

Ryszard skrev:

Laguna skrev:

Det A som du definierar är ett vanligt intervall. Är det meningen? Alla delintervall av A ligger väl i A (eller är delmängder, snarare).

Vad betyder $$\Delta$

A är (var) menat att vara ett arbiträrt intervall, Jag har en uppgift då man ska visa att om $f\left(x\right)=0$ för alla x i en tät reell mängd $A$ så gäller det även för alla $x$ i $\mathrm{ℝ}$ ( ovanstående funktionen $f$ är kontinuerlig), Så min idé var att visa 1. $A$ är inte tom 2. Visa att $A$ utgör intervall över hela tallinjen, 

$∆$ är menat att representera en punkt i $\left(\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right)$ som också är i $A$

Jag är inte så bra på det här, så jag ska inte ge mig ut på djupt vatten.

A behöver inte vara ett intervall, A är en delmängd till de reella talen. Exempelvis så är de rationella talen täta i R.

JohanB skrev:

A behöver inte vara ett intervall, A är en delmängd till de reella talen. Exempelvis så är de rationella talen täta i R.

 Har jag då rätt i att tolka    :"$f\left(x\right)=0$ för alla $x$ i den reella täta mängden $A$" som "$f\left(x\right)=0$ för  alla irrationella x" om nu $A=irrationella talen$

Ryszard skrev:

Hej!

Jag har fått täthet förklarat som följande: " En reell mängd A är tät om varje öppet intervall innehåller en punkt av A"

Är det samma som:  $A=\left\{x\in \mathrm{ℝ}: a\le x\le b\right\}$är tät om det för varje öppet intervall $\left(\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right)$ ,med $a⩽c<d⩽b$,

finns ett $∆ i \left(\begin{array}{cc}c& d\end{array}\right)$ som också är i $A$?

 Hej!

Man säger inte att en mängd är tät (bara sådär), utan en mängd är tät relativt en annan mängd.

I ett topologiskt rum är en delmängd $A \subseteq B$ tät i $B$ om $\overline{A} = B$, där $\overline{A}$ betecknar det slutna höljet till mängden $A$. Detta betyder att snittet $A \cap O \neq \emptyset$ för varje öppen delmängd $O \subseteq B.$

Du vill visa att om $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ är en kontinuerlig funktion sådan att $f(x) = 0$ för alla $x \in A$ där $\overline{A} = \mathbb{R}$ så är $f = 0$ (funktionen är identiskt lika med nollfunktionen).

Låt $(a_{n})$ vara en talföljd i $A$ som konvergerar mot ett reellt tal $a$. Detta reella tal $a$ ligger per definition i det slutna höljet $\overline{A}.$ På grund av att funktionen $f$ är kontinuerlig följer det att

    $f(a_n) \to f(a).$

Men eftersom talföljden ligger i $A$ så är alla $f(a_n)$ lika med noll. Vad kan du då säga om talet $f(a)$?

Måste vi specifikt ha en talföljd $\left(a_n\right)$ ,

Eller kan vi också säga att alla punkter i  $\left(\begin{array}{cc}a-\delta & a+\delta \end{array}\right)$ som $\ne a$ är i $A$ och $a\in \overline{A}$ per definition.

Sedan eftersom $f$ är kontinuerlig och lika med noll i alla punkter runt $a$ så för alla $\epsilon >0$ finns det ett $\delta >0$, för alla x, om $\left|x-a\right|<\delta så \left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right|<\epsilon$ därför måste $f\left(a\right)=0$

(mitt bevis är tråkigare, men har som anledningen att det följer från saker som jag vet sen tidigare uppgifter)