Taskig triangel

Får du mäta sidorna? 

Jag tror det.

Basen är 11cm, sidan CDA är 11,5cm och CEB är 12,5cm.

Mät även A till E och B till D.

 De är vad i triangeln? De går vinkelrät mot sidorna och då är de .... Då kan du sen använda formeln för att räkna ut totala ytan på triangeln. 

Är de likformiga eller? Jag vet inte riktigt vilken formel jag kan använda till det här.

Jag tänker att du tar t ex basen som 12,5 och mäter höjden från basen och får fram totala ytan.

Tyvärr, men jag fick fel svar. Svaret ska vara 18 enligt min lärare.

Kan man utgå ifrån att linjen bd är vinkelrät mot ac och ae mot bc?

Eller är linjerna bisektriser? Svårt att utläsa

De är inte bisektriser.

De måste vara vinkelräta, det syns så tydligt. Tog du (Basen*Höjden)/2 och sen svaret minus de tre areorna?  

Grejen är att jag lätt hade kunnat göra det där om svaren skulle anges i cm, men nu är ju två områden lika med tre och en är sju. Jag vet inte vad det tredje området kan vara värt om svaret inte kan anges i cm.

Klurig triangel!
Inga mått angivna på sidorna.
Inga vinklar angivna.

Allt vi vet, förutom figuren, är att de tre nedersta delarna har areorna 3, 7 och 7 (se siffrorna i resp triangel), förmodligen uttryckta i samma areaenheter. Se texten ovanför figuren.

Linjen B(S)D delar alltså triangeln ABE i två lika stora delar, vardera på 7 areaenheter.  
Och linjen A(S)E delar triangeln ABD i två delar.med arean 3 resp 7 areaenheter. 
Den på 7 areaenheter (∆ABS) är gemensam för ∆ABE och ∆ABD,

Hur kommer vi vidare från det?

För att vara ärlig så har jag ingen aning. Det är precis där jag sitter fast.

Jag vore tacksam om du kan förklara vad du menar lite mer detaljerat. 

Japp, taskig är den. Det finns ett geometriskt knep här som man inte ser så ofta. Arean av en triangel är ju bas gånger höjd delat på 2. När två trianglar använder samma bas eller höjd, är det bara den andra sidan som kan skapa en skillnad i area:

Här är alltså $A_1 = \frac{b_1 h}{2}$ och $A_2 = \frac{b_2 h}{2}$. Om vi delar ekvationerna led för led med varandra (alternativt, löser ut h ur ena, sätter in uttrycket i andra, flyttar runt) får vi att

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Det blir alltså ett slags likformighetssamband: Kvoten mellan trianglarnas areor är lika med kvoten mellan deras baser. Eller kvoten mellan deras höjder, om det är basen de har gemensamt.

Se om du kommer vidare med det här knepet i verktygslådan (det är dock fortfarande en svår uppgift som tar några steg att lösa).

Jag har försökt att komma lite längre fram i problemet, men jag vet fortfarande inte hur jag ska fortsätta. 

Med en sån här uppdelning:

kan man använda det där areasambandet för att ställa upp lite ekvationer. Notera t.ex. att CDS och ADS är trianglar som delar höjd. Alltså är förhållandet mellan deras baser samma som förhållandet mellan deras areor:

$\dfrac{|CD|}{|AD|} = \dfrac{x}{3}$

Men samma baser återanvänds igen. Trianglarna BCD och ABD delar höjd, och har CD respektive AD som baser. Så vi ställer upp sambandet igen:

$\dfrac{|CD|}{|AD|} = \dfrac{x+y+7}{3+7}$

Men vänsterleden är ju samma sak i dessa ekvationer, så högerleden måste vara lika med varandra:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{x+y+7}{3+7}$

Och där har du en av två ekvationer. Nästa kan hittas på motsvarande sätt, och då har man ett ekvationssystem som kan lösas för att få ut x och y.

Som sagt, det är ingen lätt uppgift. Kanske finns ett enklare sätt än detta, men jag ser inte hur. Jag antar att läraren gav dig den här som en extra utmaning / trolluppgift?

Tack så mycket för hjälpen skaft!

Jag använde mig av din metod med BE och EC. Då fick jag fram att y=10,5 och X=7,5. Totalt blev det röda området 18.

Tack för att du lär mig nya saker.

I min skola brukar jag göra svårare uppgifter och ungefär en gång om året får jag sådana här typer av uppgifter. Problemet är dock att jag aldrig får lära mig sådana här formler i skolan. Läraren vägrar dessutom att lära ut svårare matematik. Dessutom är det ibland svårt att hitta sådant här på internet. 

Återigen vill jag därför säga tack för hjälpen. 

Om du kan ge mig ett tips på en bra matematikbok som innehåller allt det här, vore det också suveränt.

Naturligtvis fick jag dock den här uppgiften eftersom min egna lärare inte ens kunde lösa den.

Snyggt jobbat =)

Du kanske skulle uppskatta Problemlösningens grunder av Henrik Petersson, du låter som den typ av elev som den är skriven för. Den har dels många intressanta problem, men också generella strategier att använda vid problemlösning, samt en lite mer "formell" genomgång av matten.

Tack igen! Jag uppskattar verkligen din och alla andras hjälp.