Tärningsproblem (sannolikhet)
Hej, har fastnat lite med följande problem:
Hur många gånger måste man kasta (en vanlig sexsidig) tärning för att vara garanterad att få se samma siffra tre gånger?
Jag tänker att om man på första slaget slår siffran n, så krävs det ju maximalt ytterligare sex slag (d.v.s. sammanlagt 7 slag), innan man får se siffran n igen. Men hur tänker man när det kommer till det tredje slaget? Skulle uppskatta om någon kan förklara :)
Detta problem blir lättare om du tänker i mindre skala. Tänk dig att det är strömavbrott hemma, och du ska hitta ett par strumpor att ta på dig. I din låda finns ett oändligt antal röda och ett oändligt antal svarta strumpor. Hur många strumpor behöver du ta upp ur lådan för att vara säker på att du får med dig ett par? :)
Om du slår en etta först, varför skulle det komma en till etta inom sex slag? Det kan bli t.ex. 1 2 3 4 3 2 4 6 3 2 ...
pepparkvarn skrev:Detta problem blir lättare om du tänker i mindre skala. Tänk dig att det är strömavbrott hemma, och du ska hitta ett par strumpor att ta på dig. I din låda finns ett oändligt antal röda och ett oändligt antal svarta strumpor. Hur många strumpor behöver du ta upp ur lådan för att vara säker på att du får med dig ett par? :)
Det lär väl vara tre strumpor isåfall? Men förstår inte riktigt hur jag applicerar det när det gäller fler fall än två, känner mig lite trög här :P
Laguna skrev:Om du slår en etta först, varför skulle det komma en till etta inom sex slag? Det kan bli t.ex. 1 2 3 4 3 2 4 6 3 2 ...
Nej, du har rätt. Inser nu att jag tänker helt knasigt här...
I tärningsspel finns det inga garantier.
Man kan t ex få en obruten rad sexor, hur lång som helst, men sannolikheten för det blir mindre och mindre ju längre rad man tänker sig. Sannolikheten för att få k sexor är (1/6)^k och det är ett positivt tal. Man är aldrig garanterad att få något annat än sexor.
Hur stor är sannolikheten att man efter k kast får se samma siffra tre gånger?
Hur många gånger behöver du slå en sexsidig tärning för att vara säker på att någon av siffrorna skall komma upp minst två gånger? (Hur många strumpor behöver du ta för att vara säker på att få två lika, om det finns 6 olika sorters strumpor?)
Chrisrs skrev:pepparkvarn skrev:Detta problem blir lättare om du tänker i mindre skala. Tänk dig att det är strömavbrott hemma, och du ska hitta ett par strumpor att ta på dig. I din låda finns ett oändligt antal röda och ett oändligt antal svarta strumpor. Hur många strumpor behöver du ta upp ur lådan för att vara säker på att du får med dig ett par? :)
Det lär väl vara tre strumpor isåfall? Men förstår inte riktigt hur jag applicerar det när det gäller fler fall än två, känner mig lite trög här :P
Mycket riktigt! Om du skulle vilja ha två par, skulle du behöva ta upp fem strumpor. Detta tankesätt brukar kallas "maximal otur". Om du har maximal otur med strumporna får du "svart, röd, svart". Om du skulle ha två likadana siffror skulle maximal otur vara "1, 2, 3, 4, 5, 6, 1", alltså sju slag. Om du behöver tre likadana siffror (eller tre likadana strumpor när det finns sex olika sorter), hur skulle den maximala oturen se ut då? :)
har du läst om Dirichlets lådprincip? https://sv.wikipedia.org/wiki/Dirichlets_l%C3%A5dprincip
om du har n lådor så behövs minst n+1 saker för att det en av lådorna ska ha minst 2 saker.
om tärningen har 6 sidor hur många lådor motsvarar det?
Vad kul! Problemet har ju ingenting med sannolikheter att göra. Det är rena kombinatoriken. Jag lät lura mig av rubriken och inklädnaden i tärningskast. Strumpor i låda är mycket bättre. Tack!
Visa spoiler
Efter 13 kast har vi garanterat fått samma värde (minst) tre gånger:
Först sex olika värden [1 2 3 4 5 6] i godtycklig ordning (maximal otur).
Det sjunde, x, måste då vara lika med ett av dessa.
Sedan fem olika värden, dock inte x. Nu är vi uppe i tolv kast.
Nästa, y, måste då vara lika med två av de tidigare värdena.
(Är det rätt resonerat?)
Om man kastar tärningen 12 gånger kan det hända att man får varje resultat två gånger. Det trettonde kastet måste vara detsamma som minst två av de tidigare kasten. Det kan ju hända att man t ex får 6 i de båda första kasten, så det behöver inte vara som Affe skrev i sin spoiler.
Tack så mycket för alla svar hörni! Det känns som jag förstår resonemanget. För om man använder Dirichlets lådprincip, så får jag precis som Arktos säger, med maximal otur, svaret till 13 slag.
Smaragdalena och jag kommer till samma resultat på olika sätt. Båda förefaller mig riktiga.
Jag beskrev skeendet i två steg (se min spoiler ovan):
Minsta antal kast till första garanterade par (7)
Minsta antal kast från första garanterade par till första garanterade trippel (6)
7+6=13 (se min spoiler ovan)
Smaragdalena tar det i ett svep, utan mellanlandning efter första garanterade par:
Maximal otur med de första 12 kasten är [1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6] i godtycklig ordning.
Då har man redan sex par, ett i varje valör.
Nästa kast får en av dessa valörer och ger därför den första garanterade trippeln.
12 + 1 = 13
Roligt problem!
