Tärningskast

Har jag tänkt rätt i följande uppgift? Svaret enligt facit skall vara ungefär 0.150. Om jag dividerar mitt svar med fyra så får jag 0.150.

En symmetrisk tärning kastas 10 gånger. Beräkna sannolikheten att två värden uppkommer
vardera exakt 3 gånger, ett värde exakt två gånger och två värden exakt en gång.

Min lösning är följande. Det första värdet kan man välja på 6 olika sätt. Detta värde skall förekomma exakt 3 gånger, och vi kan fördela dem på de 10 platserna på $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ olika sätt. Därefter väljer vi nästa värde bland 5 kvarvarande värden. Dessa kan fördelas på $(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix})$ olika sätt. Nästa värde väljs på 4 sätt, och fördelas på $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ sätt. Följande värde kan väljas på 3 sätt och fördelas på $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ sätt. Sista värdet kan väljas på 2 sätt och fördelas på sista platsen, d.v.s. 1 sätt. Sannolikheten blir då

$p = \frac{6 (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) 5 (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) 4 (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) 3 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) 2 (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})}{6^{10}} \approx 0.600$

Detta är alltså säkert fel (sannolikheten är väl alltför stor för en sådan här specifik händelse?)...

Jag blir inte klok på hur du konstruerar det där uttrycket. Du säger t.ex att den första talet kan väljas på sex olika sätt och den sexan multiplicerar täljaren. Du har $6^{10}$ i nämnaren, men jag ser inte hur det hamnar där, och hur det hör ihop med varje uttryck i täljaren.

Ska det inte bli 0.12?

Om två värden vardera ska förekomma exakt tre gånger så kan vi kalla dessa värden v1 och v2, ett värde ska förekomma exakt två gånger, vi kallar det v3, och två värden ska förekomma exakt en gång, vi kallar dessa v4 och v5. Vi kan betrakta den ordnade sekvensen och sen säga att det finns 10! permutationer av den.

v1 händer med sannolikhet ${(\frac{1}{6})}^{3} {(\frac{5}{6})}^{7}$ , och när v2 sen ska väljas så finns det bara 5 möjliga värden, så v2 händer med sannolikhet ${(\frac{1}{5})}^{3} {(\frac{4}{5})}^{4}$ , och sen är v3 något av 4 kvarvarande värden på två platser med sannolikheten ${(\frac{1}{4})}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}$ . Sen är v4 på samma sätt $(\frac{1}{3}) (\frac{2}{3})$ v5 är fri bland två alternativ. Notera att sista faktorn i v4 visar att "resten", dvs v2 kan vara två av tre kvarvarande alternativ.

Med alla permutationer av den ordnade sekvensen har man $P = \frac{5^{7}}{6^{10}} \times \frac{4^{7}}{5^{7}} \times \frac{4^{4}}{4^{7}} \times \frac{3^{2}}{4^{4}} \times \frac{2}{3^{2}} \times 10! = \frac{2 \times 10!}{6^{10}} \approx 0.12$ .

Jag blir dock inte klok på om det här är rätt. Jag tror jag ska göra en simulering av det där för att se om det är rätt -- det borde synas ganska snart.

Nä, 0.15 ska det bli, säger min simulering...

Svara