Tärningar och sannolikhet, kombinatorik, matte 5

Hej,

Vi kastar 5 tärningar. Vad är sannolikheten att vi får prick 3 ettor?

Påbörjad lösning.

Vi kan välja 3 av 5 på $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ sätt. Sannolikhet för en etta är $\frac{1}{6}$ . Sannolikheten för 3 ettor på varandra blir då $\frac{1}{6^{3}}$

Dock innebär detta att d två andra INTE är ettor. Vi kan alltså välja 2 av 5 på $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ sätt. Sannolikheten att INTE få etta är dess komplementhändelse, dvs. "att få allt utom ett" som ju definieras som $\frac{5}{6}$ . Sannolikheten för dessa två "icke-ettor" blir således ${(\frac{5}{6})}^{2}$

Totala sannolikheten för sökt händelse blir då

$(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \times \frac{1}{6^{3}} \times (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \times {(\frac{5}{6})}^{2}$

Är det något som fattas?

Det blir fel när du väljer ut icke-ettorna. När du valt ut dina ettor, har du automatiskt valt ut de tärningar som ska vara ettor också, eftersom det är tärningarna som inte valts till ettor. Annars ser det bra ut. :)

Ser nästan rätt ut.

Jag tänker att sannolikheten för tre ettor är som du säger 1/6³ och (5/6)² för de två andra. Sen finns det $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ sätt att göra det på. Dvs du har väl en faktor 10 för mycket, $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ .

emilg skrev:
Ser nästan rätt ut.
Jag tänker att sannolikheten för tre ettor är som du säger 1/6³ och (5/6)² för de två andra. Sen finns det $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ sätt att göra det på. Dvs du har väl en faktor 10 för mycket, $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ .

Ja, det är en faktor 10 för mkt. Men jag tänker, bara spontant, att det bör väl vara så att denna faktor $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ ska vara med, eftersom det går att välja 2 av 5 på så många sätt.

Men nu inser jag en sak.. hmm.. tror jag förstår varför den ej skall vara med.. nu tänker/skriver jag "högt" bara. Vi skall ersätta faktorn $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$ med $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ , vars värde är 1, eftersom vi, efter att vi "valt" 3 av 5, endast har 2 tärningar kvar att välja, av vilka vi väljer 2. Därav $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 1$

Verkar detta rimligt?:)

Låter som en alldeles utmärkt förklaring!

Smutstvätt skrev:
Låter som en alldeles utmärkt förklaring!

Tack för hjälpen! En snabb fråga bara. Ponera att vi nu istället har 10 tärningar som vi kastar, och söker sannolikheten att exakt 3 är ettor. Blir det på likadant sätt att sannolikheten isf blir

$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \times \frac{1}{6^{3}} \times (\begin{matrix} 7 \\ 7 \end{matrix}) \times {(\frac{5}{6})}^{7}$ ?

Japp! För att verkligen driva hem poängen: Tänk dig att du istället väljer ut sju tärningar som inte ska vara ettor. Det kan göras på $(\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix})$ sätt, men eftersom det är samma situation från en annan vinkel borde det ju vara samma sak. Tursamt nog är $(\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ , så det fungerar lika bra att välja ut tre ettor som att välja ut sju ickeettor. :)

Ja så är det ju!:)

Men om vi gör det lite roligare, så kan vi beakta följande problem. Vi tänker oss spelet Yatzy, där vi har 5 tärningar, och söker sannolikheten att få kåk, dvs. par + triss, t.ex. 22555 eller 66111. Jag tänker något i stil med ovan, att sannolikheten blir

$(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \times \frac{1}{6^{2}} \times (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) \times \frac{1}{6^{3}}$

Bör väl bli så?

Svara

Visa senaste svar