tappat bort en term

"Lös differentialekvationen och bestäm den partikulärlösning som uppfyller det givna begynnelsevillkoret"

c, $\frac{dy}{dx}=e^{x-y}$ , $y\left(0\right)=5$

Jag verkar ha tappat bort -1, när jag jämför med facit. Lägger ut min lösning, se gärna över om ni kan hitta var jag gjort fel :)

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y} \\ \int e^{y}dy=\int e^{x}dx \\ {e}^y=e^x+C \\ y=\ln (e^x+C) \end{gathered}$$

Jag verkar få ut rätt värde på C också:

$$\begin{gathered} 5=\ln (e^0+C)=\ln (1+C)=\ln 1 +\ln C \\ 5=\ln C \\ C=e^5 \end{gathered}$$

Men något steg har jag ju missat... Då svaret ska vara $y=\ln (e^x+e^5-1)$