tanx= sinx

Hej!

Jag har en fundering angående ekvationen tanx = sinx. Jag kan ju lösa ut x på två olika sätt, men där två lösningar ges. Hur ska jag då alltså veta att den ena lösningen är fel/delvis fel eller korrekt?

Alt 1: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos (1) \Rightarrow x = \pm 0 + 360 n$

Alt 2: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \sin x = \sin x \times \cos x \Rightarrow 0 = \sin x \times \cos x - \sin x \Rightarrow 0 = \sin x (\cos x - 1)$

$\Rightarrow a n t i n g e n \cos x - 1 = 0 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos x = a r \cos (1) \Rightarrow \pm 0 + 360 n$

$\Rightarrow e l l e r \sin x = 0 \Rightarrow a r c \sin (x) = a r c \sin (0) \Rightarrow x_{1} = 0 + 360 n, x_{2} = 180 + 360 n$

Ekvationen löses antingen när

sin(x) = 0

eller

cos(x) = 1

Är du med på att

om cos(x) = 1 så måste sin(x) = 0?

om sin(x) = 0 så måste inte cos(x) = 1?

abcdefg skrev:
Hej!
Jag har en fundering angående ekvationen tanx = sinx. Jag kan ju lösa ut x på två olika sätt, men där två lösningar ges. Hur ska jag då alltså veta att den ena lösningen är fel/delvis fel eller korrekt?
Alt 1: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos (1) \Rightarrow x = \pm 0 + 360 n$
Alt 2: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \sin x = \sin x \times \cos x \Rightarrow 0 = \sin x \times \cos x - \sin x \Rightarrow 0 = \sin x (\cos x - 1)$
$\Rightarrow a n t i n g e n \cos x - 1 = 0 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos x = a r \cos (1) \Rightarrow \pm 0 + 360 n$
$\Rightarrow e l l e r \sin x = 0 \Rightarrow a r c \sin (x) = a r c \sin (0) \Rightarrow x_{1} = 0 + 360 n, x_{2} = 180 + 360 n$

Metod 1 är felaktig eftersom du där dividerar bort $sin(x)$ . Det får du endast göra om $sin(x)\neq0$ och du tappar därmed de lösningarna.

-----

Lösningarna kan tillsammans skrivas

x = n*180°, där n är ett heltal.

Yngve skrev:
abcdefg skrev:
Hej!
Jag har en fundering angående ekvationen tanx = sinx. Jag kan ju lösa ut x på två olika sätt, men där två lösningar ges. Hur ska jag då alltså veta att den ena lösningen är fel/delvis fel eller korrekt?
Alt 1: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos (1) \Rightarrow x = \pm 0 + 360 n$
Alt 2: $\frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \Rightarrow \sin x = \sin x \times \cos x \Rightarrow 0 = \sin x \times \cos x - \sin x \Rightarrow 0 = \sin x (\cos x - 1)$
$\Rightarrow a n t i n g e n \cos x - 1 = 0 \Rightarrow a r c \cos (x) = a r c \cos x = a r \cos (1) \Rightarrow \pm 0 + 360 n$
$\Rightarrow e l l e r \sin x = 0 \Rightarrow a r c \sin (x) = a r c \sin (0) \Rightarrow x_{1} = 0 + 360 n, x_{2} = 180 + 360 n$
Metod 1 är felaktig eftersom du där dividerar bort $sin(x)$ . Det får du endast göra om $sin(x)\neq0$ och du tappar därmed de lösningarna.

Okej, tack! Kanske en dum fråga, men på vilket sätt är sin(x) = 0 i den första metoden menar du?

abcdefg skrev:

Okej, tack! Kanske en dum fråga, men på vilket sätt är sin(x) = 0 i den första metoden menar du?

Nej det är ingen dum fråga.

Jag menar inte att $sin(x)$ är lika med $0$ , jag menar att $sin(x)$ kan vara lika med $0$ .

Om $sin(x)=0$ så är ekvationen uppfylld. Men om $sin(x)\neq0$ så är det OK att dividera bort $sin(x)$ som.du gör.

Är du med på att sin(x) = 0 löser ekvationen sin(x)/cos(x) = sin(x)?
Är du med på att du "tappar bort" dessa lösningar (där sin(x) = 0) när du dividerar med sin(x)?

Okej, tack! Kanske en dum fråga, men på vilket sätt är sin(x) = 0 i den första metoden menar du?

Du har delat med sin(x). Det får man endast göra om sin(x) inte har värdet 0 - alltså måste man undersöka fallet sin(x)=0 för sig.

När du använder Alt. 1 förbjuder du alla lösningar till ekvationen som är sådana att $\sin x=0$ . Detta alternativ ger dig inte samtliga lösningar. Använd därför Alt. 2.

Svara

Visa senaste svar