Tanke om derivata

Hej!

Var har du fått definitionen ifrån?

Den grundläggande definitionen ser ut enligt följande:

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

Bra!

Den formel du har skrivit fungerar utmärkt just i det fallet du nämner, där man anger värden i differenskvotens täljare, dvs vid numerisk derivering.

Denna differenskvot kallas central differenskvot, eftersom du där beräknar ett värde till vänster om och ett värde till höger om den punkt i vilken du vill approximera derivatan.

Du känner redan till differenskvoten (f(x+h)-f(x))/h, s.k. framåtdifferenskvot, och det finns även en bakåtdifferenskvot som ser ut så här: (f(x)-f(x-h))/h 

H kan vara både negativt och positivt så man testar redan från båda sidor. Den foreln du har skrivit går att skriva om till den vanliga definitionen med variabelbyte.

Zeus skrev:

...

Vore detta inte mer exakt än att bara skriva f(x + h) - f(x)? Om man har en punkt vars lutning man vill få fram, känns det som att svaret borde bli mer exakt ifall man angriper punkten från båda hållen.

Jag gissar Då hade väl den formeln som jag skrev varit bättre?

Ja, du får ett bättre närmevärde till f'(x) om du använder central differenskvot istället för framåt- eller bakåtdifferenskvot.

Pröva gärna själv!

Använd alla tre metoderna för att ta fram ett närmevärde till $f'(1)$ då $f(x)=x^2$. Använd $h=0,01$.

I de fall då det finns en vänsterderivata men inte högerderivata, eller tvärtom, så kan man inte uttrycka detta med den dubbelsidiga definitionen, så den är inte lika användbar. Men för numeriska beräkningar är den som sagt bra.