Tänk dig att du har vunnit en frågetävling.
Tänk dig att du har vunnit en frågetävling i en TV-show och att du som belöning får chansen att vinna en bil.
Du får välja en av fyra stängda dörrar, A, B, C eller D. Bakom en dörr finns en riktig bil och bakom de tre andra leksaksbilar. Anta att du väljer dörr A.
Programledaren som känner till vad som döljer sig bakom dörrarna, öppnar då två av de tre kvarvarande dörrarna som hon vet döljer en leksaksbil. Vi antar att dörr B och C öppnas och du ser att bakom varje dörr finns en leksaksbil. Programledaren frågar dig nu: " Vill du byta till dörr D eller vill du behålla ditt första val, A? "
Hur många gånger ökar dina vinstchanser om du byter?
Jag tänker ju att det inte spelar någon roll om du byter. Det är lika stor sannolikhet att bilen är bakom A som bakom D, därför borde ju sannolikheten för vinst vara 1/2 upp från 1/4. Tydligen så ökar vinstchansen med 3 ggr om du byter dock. Jag förstår inte detta alls. Om sannolikheten för att bilen är bakom en viss dörr är lika stor för alla dörrar, och du öppnar två och sen får välja igen finns det ju TVÅ dörrar kvar att välja på av de ursprungliga fyra. EN har ett gynnsamt utfall. Därför borde ju sannolikheten vara EN av TVÅ ( 1/2 )?
Edit: Jag läste någon illustration av problemet där de hade 100 dörrar varav 1 hade en bil bakom och de 99 andra hade en get. Om man ser gör sitt val, och 98 av dörrarna öppnas och alla 98 visas ha en get så är tydligen chansen att man vinner om man byter 99/100, medans om du inte byter är chansen 1/100. Är inte detta bara matematisk hockus pockus? Jag förstår att när jag först gjorde valet så var chansen 1/100. Nu är det två dörrar kvar och båda är lika sannolika att ha bilen bakom sig. Menar de att sannolikheten för någon annan som sedan skulle kunna komma in och väljer en av de dörrarna att välja rätt är 99/100? Eller om jag väljer den andra dörren och sedan byter tillbaks till den originella, är det ändå 99/100 sannolikhet att jag väljer rätt trots att jag väljer samma dörr?
En modifikation som jag tycker brukar hjälpa för att få en att acceptera att det kanske spelar roll om man väljer att byta. Tänk dig att det var fler dörrar.
Tänk dig att det fanns 100 dörrar från början som du väljer mellan. Sedan, efter ditt val, så öppnar programledaren 98 av de andra dörrarna och visar leksaksbilar bakom dem, lämnandes den du valde och en till sluten, och frågar om du vill välja om. Känns det fortfarande som att det fortfarande som att båda dörrarna är lika troliga?
EDIT: woops, trådskaparen redigerade in just det jag skrev innan jag hann posta.
Varianter på detta kallas Monty Hall-problemet och finns gott om artiklar och videos om det utifall du inte förstår en förklaring men fortsätt fundera själv i alla fall 30min till innan du kollar upp sånt.
Det är sant att från början så är det lika stor chans bakom alla dörrar. Detta är lite likt Monty hall problemet. Kolla lite på denna länken och se om det hjälper något. Det händer något när programledaren öppnar en dörr och vet att det inte är en vinst bakom den dörren. Mony Hall-Problemet.
SeriousCephalopod skrev:En modifikation som jag tycker brukar hjälpa för att få en att acceptera att det kanske spelar roll om man väljer att byta. Tänk dig att det var fler dörrar.
Tänk dig att det fanns 100 dörrar från början som du väljer mellan. Sedan, efter ditt val, så öppnar programledaren 98 av de andra dörrarna och visar leksaksbilar bakom dem, lämnandes den du valde och en till sluten, och frågar om du vill välja om. Känns det fortfarande som att det fortfarande som att båda dörrarna är lika troliga?
EDIT: woops, trådskaparen redigerade in just det jag skrev...
Varianter på detta kallas Monty Hall-problemet och finns gott om artiklar och videos om det utifall du inte förstår en förklaring men fortsätt fundera själv i alla fall 30min till innan du kollar upp sånt.
Hej! Jag hade precis läst den varianten på wikipedia och uppdaterade OP med det. Jag förstår bara inte varför sannolikheten skulle förändras till 99/100. Jag förstår tanken bakom att mitt originella val hade 1/100 sannolikhet att vara gynnsamt. Dock så förstår jag inte hur nu när vi har två dörrar som är lika sannolika att ha bilen bakom sig så har den ena dörren en 99/100 chans att ha bilen bakom sig medans den andra bara har 1/100? Vad händer ifall jag byter dörr men sedan byter tillbaks till den originella? Har den då också 99/100 chans?
I samma stund som du har valt att dörr A så är de gällande sannolikheterna att
P(Bilen är i D) = 1/4
P(Bilen är i B, C eller D) = 3/4
Det som är tricket i lösningen, och som kan tyckas kontraintuitivt, är att dessa sannolikheter inte förändras av att programledaren öppnar dörrarna B och C och vi får reda på att
P(Bilen är i B) = 0
P(Bilen är i C) = 0
Detta leder till att sannolikheten att bilen är i D blir
P(Bilen är i D) = P(Bilen är i B, C eller D) - P(B) - P(C) = 3/4 - 0 - 0 = 3/4
När ny information tillkommer så uppdaterar informationen endast vissa av sannolikheterna för händelser i ett problem, de informationen explicit berör, och inte de andra.
Verkar det konstig. Jo kanske lite. Men spelar du spelet så vinner du oftare om du byter (testa med en simulation) och det går inte att komma undan.
Från början har du 1 % chans att gissa rätt. Man öppnar 98 luckor, och man får se att det inte finns en bil bakom någon av dem. Sannolikheten att du valde rätt lucka från början är fortfarande 1 %. Den sammanlagda sannolikheten att bilen finns antingen bakom din lug´cka eller den enda oöppnade luckan är fortfarande 100 %. Hur stor är chansen att bilen är bakom den andra luckan?
Alltihop hänger på att programledaren vet vilka luckor som är "bommar". Om du valde bil-luckan från början, kan han öppna vilka som helst av de 99 andra luckorna. Om du inte valde bil-luckan finns det en enda lucka som programledaren måste undvika - den med bilen bakom.
Smaragdalena skrev:Från början har du 1 % chans att gissa rätt. Man öppnar 98 luckor, och man får se att det inte finns en bil bakom någon av dem. Sannolikheten att du valde rätt lucka från början är fortfarande 1 %. Den sammanlagda sannolikheten att bilen finns antingen bakom din lug´cka eller den enda oöppnade luckan är fortfarande 100 %. Hur stor är chansen att bilen är bakom den andra luckan?
Alltihop hänger på att programledaren vet vilka luckor som är "bommar". Om du valde bil-luckan från början, kan han öppna vilka som helst av de 99 andra luckorna. Om du inte valde bil-luckan finns det en enda lucka som programledaren måste undvika - den med bilen bakom.
På sätt och vis men egentligen inte. Programledaren måste veta vilka dörrar som är rätt för att problemet ska vara realistiskt men själva grundprincipen kräver inte att informationen existerar i huvudet hos någon endast vad som du observerar i spelet. Programledaren kunde lika öppnat 98 dörrar slumpmässigt och det skulle fortfarande varit rätt att byta så länge utfallet är att de öppnade dörrarna inte hade en bil bakom sig.
Tänk dig att du spelar (4-dörrs)spelet med dig själv i följande form. Fyra spelkort, ett hjärter (som du ska hitta) och resten med spader. Blanda de fyra korten och lägg ett åt sidan. Vänd två av tre i de kvarvarande. Låt säga att det slumpade sig så att de som du vände var spader (annars börja om). Om du i detta läge vill ha högst sannolikhet att du väljer hjärterkortet ska du ta kortet du lade åt sidan eller det du har kvar i handen?
SeriousCephalopod skrev:I samma stund som du har valt att dörr A så är de gällande sannolikheterna att
P(Bilen är i D) = 1/4
P(Bilen är i B, C eller D) = 3/4
Det som är tricket i lösningen, och som kan tyckas kontraintuitivt, är att dessa sannolikheter inte förändras av att programledaren öppnar dörrarna B och C och vi får reda på att
P(Bilen är i B) = 0
P(Bilen är i C) = 0
Detta leder till att sannolikheten att bilen är i D blir
P(Bilen är i D) = P(Bilen är i B, C eller D) - P(B) - P(C) = 3/4 - 0 - 0 = 3/4
När ny information tillkommer så uppdaterar informationen endast vissa av sannolikheterna för händelser i ett problem, de informationen explicit berör, och inte de andra.
Verkar det konstig. Jo kanske lite. Men spelar du spelet så vinner du oftare om du byter (testa med en simulation) och det går inte att komma undan.
Ok, " P(Bilen är i D) = P(Bilen är i B, C eller D) - P(B) - P(C) = 3/4 - 0 - 0 = 3/4 " kändes logiskt. Så den kvarvarande dörren representerar sannolikheten för att bilen var i någon av de tre man inte valde.
Men låt oss säga att en person kommer in i samma scenario som de fyra dörrarna och väljer en dörr, sedan öppnar programledaren två bom-dörrar. Personen som originellt valde dörr går sedan ut och en person som inte vet vilken dörr den förra valde kommer in och får göra det slutgiltiga valet. Borde inte sannolikheten för den personen då vara 1/2?
Personen som kommer in när bara två dörrar är slutna och får det sagt att det är en leksak bakom den ena och en bil bakom den andra har betydligt mycket mindre information än personen som gått ut. Utifrån informationen denna person har fått så är båda dörrarna lika troliga på samma sätt som att alla 4 var lika troliga för person 1 innan två av dem öppnades. Det finns inget sätt för denna person att vinna spelet mer än runt hälften av gångerna om det upprepas vilket är vad sannolikheter representerar.
Sannolikheter formuleras alltid utifrån tillgänglig information. De existerar inte oberoende av vad vi får veta om ett problem.
Tänk vad snopet det vore om bilen var bakom den artonde luckan som programledaren öppnar!
SeriousCephalopod skrev:Personen som kommer in när bara två dörrar är slutna och får det sagt att det är en leksak bakom den ena och en bil bakom den andra har betydligt mycket mindre information än personen som gått ut. Utifrån informationen denna person har fått så är båda dörrarna lika troliga på samma sätt som att alla 4 var lika troliga för person 1 innan två av dem öppnades. Det finns inget sätt för denna person att vinna spelet mer än runt hälften av gångerna om det upprepas vilket är vad sannolikheter representerar.
Sannolikheter formuleras alltid utifrån tillgänglig information. De existerar inte oberoende av vad vi får veta om ett problem.
Va flummigt haha.. aja jag förstår iallafall resonemanget bakom det. Läste lite om storyn när Marilyn vos Savant först diskuterade problemet och fy vad pinsamt för alla PhDs som skickade arga brev och förolämpningar om hur fel hon hade och hur " basic " problemet var. Man kanske inte är så dum ändå för att man inte fattade det direkt heh. Tack för hjälpen!
