Tangentplan parallella med yta och/eller vektor

Hej!

Jag har ett återkommande problem med uppgifter som berör att man ska hitta tangentplan som är parallella med en annan yta eller någon vektor samt att finna tangeringspunkter. Jag förstår i princip alla moment som krävs för att lösa sådana uppgifter, men det är ett återkommande problem jag inte riktigt lyckas förstå. Vi kan exemplifiera det med följande uppgift:

$F i n n d e n / d e \tan g e n t p l a n t i l l y \tan S : z = x^{2} + y^{2} s o m ä r p a r a l l e l l a m e d v e k t o r n (1, 2, 0) o c h i n n e h å l l e r p u n k t e n (- 1, 1, 1) . A n g e o c k s å \tan g e r i n g s p u n k t e r n a .$

Vi sätter $f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z = 0$

Och kallar den sökta tangeringspunkten för $P = (a, b, c)$ .

Detta ger oss att $c = a^{2} + b^{2}$

Gradienten $\nabla f (a, b, c) = (2 a, 2 b, - 1)$ är då normalen till det sökta planet och vi erhåller ekvationen

$2 a x + 2 b y - z = 2 a^{2} + 2 b^{2} - c = c$

Min fråga lyder hur detta kan vara = c? Vi har ju betecknat c som tangeringspunkten för z och sedan flyttat över variabeln i vänsterledet? Tittar man på planets ekvation är ju den $A x + B y + C z + D = 0$ ? Detta samband (att ekvationen är = c) behövs ju för att räkna vidare och hitta a, b & c. Jag testade att utgå från faktumet att det var = c och det stämmer ju enligt

$2 a^{2} + 2 b^{2} - c = c \Leftrightarrow 2 a^{2} + 2 b^{2} = 2 c \Leftrightarrow c = a^{2} + b^{2}$

Vilket vi kan se från ursprungsuttrycket stämmer. Men jag har svårt att tro att det är detta samand "baklänges" man måste tänka, vad är det som säger att uttrycket oven blir = c?

Svara