Tangenter och gradienter - Flervariabelanalys

Förstår mig inte på en uppgift. Har gjort uppgifter med gradienten innan men inte att tangenten ska skära en specifik punkt.

Bestäm ekvationer för alla linjer, som tangerar ellipsen $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 5$ och går genom punkten (4, -1).

Det jag har gjort:

Visat att punkten inte ligger på ellipsen. Den ligger utanför.

Sätter den givna funktionen till f(x,y)

Hittar derivatan av f och definierar gradienten: $\nabla f = [\begin{matrix} 2 x + 2 y \\ 2 x + 4 y \end{matrix}]$

Vi har ingen punkt att stoppa in i ekvationen, utan tangentlinjen blir:

(a+b)x + (a+2b)y = D där D är någon konstant

Vet inte hur jag ska fortsätta. Vill ju stoppa in x = 4 och y = -1 på något vis. Vet inte heller hur jag hittar D, för det är för mycket okänt.

$x^2+2xy+2y^2=5$ är en nivåkurva till funktionen $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2$

Åt vilket håll pekar $\nabla f(x,y)$ i förhållande till nivåkurvan?

Hur ser din skiss över problemet ut?

D4NIEL skrev:
$x^2+2xy+2y^2=5$ är en nivåkurva till funktionen $f(x,y)=x^2+2xy+2y^2$

Åt vilket håll pekar $\nabla f(x,y)$ i förhållande till nivåkurvan?

Hur ser din skiss över problemet ut?

Har inte skissat något, gav upp på det efter envarren. Gradienten är ju normalen mot tangenten - hur menar du att jag ska tänka?

Ja, gradienten är en normal till tangenten. Om du lägger en vektor $\vec{v}$ från punkten (4,-1) till tangeringspunkten $(x_0,y_0)$ är de två vektorerna vinkelräta

$\displaystyle \nabla f \cdot \vec{v} = 0$

Kommer du vidare?

D4NIEL skrev:
Ja, gradienten är en normal till tangenten. Om du lägger en vektor $\vec{v}$ från punkten (4,-1) till tangeringspunkten $(x_0,y_0)$ är de två vektorerna vinkelräta

$\displaystyle \nabla f \cdot \vec{v} = 0$

Kommer du vidare?

Så jag tar v = (4-x0, -1-y0) sen v * grad(f) = 0 för att hitta vad x0 och y0 är? Det går väl inte då gradienten är okänd för mig. Hur får jag tangeringspunkten?

Om jag hittar tangeringspunkten så går det ju absolut att få fram gradienten och då kan jag skriva tangentlinjen…

Gradienten är känd i termer av tangeringspunkten $(x_0,y_0)$ , det är bara två okända

Dessutom ska tangeringspunkten uppfylla ellipsens ekvation samt att gradienten ska vara vinkelrät mot $\vec{v}$ (två ekvationer)

Två okända, två ekvationer. Gör ett försök att hitta $(x_0,y_0)$ !

D4NIEL skrev:
Gradienten är känd i termer av tangeringspunkten $(x_0,y_0)$ , det är bara två okända

Dessutom ska tangeringspunkten uppfylla ellipsens ekvation samt att gradienten ska vara vinkelrät mot $\vec{v}$ (två ekvationer)

Två okända, två ekvationer. Gör ett försök att hitta $(x_0,y_0)$ !

Fick ju grad(f) = (2x+2y, 2x+4y) som jag skrev innan.

Ställde upp två ekvationer där andra ekvationen använder punkten (a,b) = (4,-1)

$\{\begin{cases} {(x + y)}^{2} + 2 (x + y) (x + 2 y) + {(x + 2 y)}^{2} = 5 \\ (x + y) (4 - x) + (x + 2 y) (- 1 - y) = 0 (s k a l ä r) \end{cases}$

Efter lite räkning får jag:

$\{\begin{cases} 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} = 5 \\ 3 x + 2 y - 2 x y - x^{2} - 2 y^{2} = 0 \end{cases}$

Känns som att något går fel för talen är hemska.

Din andra ekvation kan skrivas om så här (råkade byta tecken)

$\underbrace{x^2+2xy+2y^2}_{=5!}-3x-2y=0$

Och nu noterar vi att $x^2+2xy+2y^2=5$ (Ellipsens ekvation). Alltså har vi

$5-3x-2y=0$

$\displaystyle y=\frac{5-3x}{2}$

Nu kan du substituera $y$ i t.ex. ellipsens ekvation (och pq-formeln!) för att få fram två värden på $x$ .

D4NIEL skrev:
Din andra ekvation kan skrivas om så här (råkade byta tecken)

$\underbrace{x^2+2xy+2y^2}_{=5!}-3x-2y=0$

Och nu noterar vi att $x^2+2xy+2y^2=5$ (Ellipsens ekvation). Alltså har vi

$5-3x-2y=0$

$\displaystyle y=\frac{5-3x}{2}$

Nu kan du substituera $y$ i t.ex. ellipsens ekvation (och pq-formeln!) för att få fram två värden på $x$ .

Aha. Det såg jag inte! Testar det - tack!

Svara

Visa senaste svar