Tangenter (Matematik/Matte 3)

Det stämmer inte riktigt.

Det k-värde du har beräknat är derivatans värde då x = -3, dvs lutningen på den tangent som tangerar grafen vid x = -3.

Ja. Vad är felet med mitt svar?

Tangerar någon av de räta linjerna grafen vid x = -3?

Ja båda linjerna gör det

Lisa14500 skrev:
Ja båda linjerna gör det

Båda linjerna går genom punkten (-3, 16), men ingen av linjerna tangerar grafen vid x = -3.

Då $x=-3$ så har funktionen värdet $f(3)=-3^2=-9$ .

Jag har markerat punkten (-3, -9) med ett kryss.

Ingen av linjerna har sin tangeringspunkt där.
Ingen av linjerna går ens genom den punkten.

Kolla här för tips om hur du istället kan göra för att lösa uppgiften.

Jag förstår helt ärligt ingenting av det har skrivits i länken. Har du möjlighet att istället skriva stegvist hur jag ska tänka/göra?

OK Jag försöker bryta ner det steg för steg. Vilket eller vilka av dessa punkter behöver du få förklarade mer ingående?

Kalla tangeringspunkten för $(x,y)$
Eftersom $y=-x^2$ så kan vi skriva tangeringspunktens koordinater $(x,-x^2)$
Funktionens derivata i den punkten är $f'(x)=-2x$
Det betyder att tangentens lutning är $-2x$
Tangenten är en rät linje som går genom punkterna $(x,-x^2)$ och $(-3,16)$
Linjens lutning kan även skrivas $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{16-(-x^2)}{-3-x}=-\frac{16+x^2}{3+x}$
Det ger oss ekvationen $-2x=-\frac{16+x^2}{3+x}$
Det är samma sak som $2x=\frac{16+x^2}{3+x}$
Om vi multiplicerar bägge sidor med $3+x$ får vi ekvationen $2x(3+x)=16+x^2$
Ekvationen kan även skrivas $6x+2x^2=16+x^2$
Ekvationen kan även skrivas $x^2+6x-16=0$
Denna ekvation har de två lösningarna $x=2$ och $x=-8$
Det finns alltså två möjliga värden på tangeringspunktens $x$ -koordinat, vilket motsvarar de två relevanta tangeringspunkterna.

Kommer du vidare själv nu?

Jag behöver ha förklaring på punkt 1 då jag inte förstår varför man ska kalla tangerimgspunkterna för (x,y) när det redan står angivet i uppgiften (-3,16).

Jag förstår inte heller punkt 6 , dvs hur du använder formeln delta y/delta x

även punkt 7 hänger ihop med punkt 6. Varför skriver du 2x=(16+x^2)/(3+x)

Lisa14500 skrev:
Jag behöver ha förklaring på punkt 1 då jag inte förstår varför man ska kalla tangerimgspunkterna för (x,y) när det redan står angivet i uppgiften (-3,16).

Nej, punkten (-3, 16) är ingen tangeringspunkt. Det står att de båda tangenterna skär varandra i den punkten.

Vet du vad en tangeringspunkt är?

Jag förstår inte heller punkt 6 , dvs hur du använder formeln delta y/delta x

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ är lutningen hos den räta linje som går genom punkterna $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ .

Tangenten går genom punkterna $(x,-x^2)$ och (-3,16). Alltså har tangenten just den lutningen som jag beskrev i punkt 6.

även punkt 7 hänger ihop med punkt 6. Varför skriver du 2x=(16+x^2)/(3+x)

Enligt punkt 3 och 4 så är tangentens lutning lika med -2x.

Enligt punkt 6 så är tangentens lutning (16+x^2)/(3+x)

Dessa båda uttryck måste då vara lika stora

Okej framtill hit är jag med

Nu gäller det att hitta k värdet för varje graf. Hur gör man det?

Ska det inte vara 2 olika k värden?

Det enda jag ser är att vi har 2 punkter (-3,16) och (2,-4) som ger k1 = (16+4)/(-3-2)=-4

k2 har punkterna

(-3,16) och (-8,64)

detta ger k2=(64-16)/(-8-3)~ -4.36
sen för att hitta ekvationerna använder jag enpunktsformeln

(1) y-16=-4.36(x+3) -> y1=-4.36x+2.92

(2) y-16=-4(x+3) -> y2=-4x+4

Den första tangeringspunkten (2, -4) är rätt och ditt första k-värde k1 = -4 är rätt.

Men den andra tangeringspunkten är inte rätt. Titta i bilden. Verkar punkten (-8, 64) ligga på grafen?

Jag förstår inte vad x=2

och x=8 ger oss i det här fallet? Vad är det vi räknar ut?

Lisa14500 skrev:
Jag förstår inte vad x=2

och x=8 ger oss i det här fallet? Vad är det vi räknar ut?
...

Du belyser en sak som är väldigt viktig nu i de högre mattekurserna.

Nu när matteproblemen blir komplicerade är det bra att välja obekanta storheter så att de säger oss något vi behöver veta.

Det är även viktigt att hålla reda på vad det är de obekanta storheterna faktiskt representerar så att vi kan tolka de resultat vi kommer fram till.

============

I den här uppgiften så började du med att kalla tangeringspunkten för (x,y).

Det betyder att x står för tangeringspunktens x-koordinat.

När du nu har beräknat värdet på x så ser du att du får två svar som stämmer överens med förutsättningarna.

Du har alltså fått fram två möjliga värden på tangeringspunktens x-koordinat.

Och det är ju precis vad vi vill ha. Vi har ju två tangenter som var och en tangerar grafen på olika ställen.

kan du markera vad tangeringspunkterna är för jag ser bara en tangeringspunkt på bilden.

Tangeringspunkt är inte detsamma som skräningspunkt va? Vad är skillnaden? varför vill vi få fram tangeringspunkten?

Tangeringspunkterna är där de räta linjerna tangerar - nätt och jämt vidrör - andragradskurvan. I de punkterna gäller att punkten (x,f(x)) ligger både på kurvan och på den räta linjen, och att lutningen f'(x) för kurvan är lika med lutningen för linjen.

Skärningspunkterna är den punkt där de båda räta linjerna korsar varandra.

Jag har markerat tangeringspunkternas ungefärliga position.

Okej. Tangenten går alltså igenom tangeringspunkten (x,-x^2) och punkten (-3,16) . Tangeringspunkten för varje graf skiljer sig åt. Vi kommer alltså att få 2 olika k värden.

k=(y2-y1)/(x2-x1)

k värdet är detsamma som derivatan av funktionen f(x). Dvs

f’(x)=-2x

detta ska vara lika med (-x^2-16)/(-3-x)=-2x

detta ger oss en lösning där x1=2

och x2=-8

vi får 2 olika värden på x.
Det betyder att vi även kommer att få 2 olika värden på k.

Jag sätter in x=2 i funktionen f(x) och får att y=-4

punkten för den första grafen blir (2,-4)

vi beräknar k värdet

(16+4)/(-3-2) = -4

nu använder vi oss av enpunktsformeln

y+4=-4(x-2)-> -4x+4=y (1) detta är vår första tangent.

Andra tangenten utgår jag får att x=-8

detta ger mig ett y värde på -64

(-8,-64) och (-3,16)

andra k värdet 16+64/(-3-8)=-7.27

enpunktsformeln

y+64=-7.27(x+8) -> -7.27x-122.16=y

Lisa14500 skrev:
...

Andra tangenten utgår jag får att x=-8

detta ger mig ett y värde på -64

(-8,-64) och (-3,16)

andra k värdet 16+64/(-3-8)=-7.27

...

Nej, du missar ett minustecken i nämnaren. Det andra k-värdet ska vara $\frac{16-(-64)}{-3-(-8)}=\frac{80}{5}=16$

okej isf ska det vara att k=16

med hjälp av enpunktsformeln kan man beräkna ekvationen.

y-16=16(x+3)

y=16x+64

Yes. Nu är det rätt.