Tangentens ekvation och nollställe

Hej en uppgift i boken lyder:
Vi undersöker tangenter till kurvan $y = \sqrt{x}$

a) var skär tangenten i punkten $(1, 1)$ x-axeln?

$y = x^{1 / 2} \Rightarrow y' = \frac{1}{2} x^{- 0.5} \Leftrightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}} y' (1) = 0.5 \Leftrightarrow l u t n i n g e n i x = 1 r ä t a l i n j e n s e k v a t i o n : y = k x + m 1 = 0.5 (1) + m \Rightarrow m = 0.5 \Rightarrow y = 0.5 x + 0.5 y = 0 \Rightarrow 0.5 x + 0.5 = 0 \Rightarrow x = - 1 \tan g e n t e n s k ä r x - a x e \ln i x = - 1$

b) var skär tangenten i punkten (4,2) x-axeln?

$y' (4) = 0.25 \Leftrightarrow l u t n i n g e n i x = 4 r ä t a l i n j e n s e k v a t i o n : y = k x + m 2 = 0.25 (4) + m \Rightarrow m = 1 \Rightarrow y = 0.25 x + 1 y = 0 \Rightarrow 0.25 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 4 \tan g e n t e n s k ä r x - a x e \ln i x = - 4$

c) Patrik påstår att tangenterna alltid skär x-axlen i den punkt som har tangeringspunktens x-koordinat men med motsatt tecken. undersök om detta är sant.

$\tan g e n t (x, \sqrt{x}) y' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \Leftrightarrow l u t n i n g r ä t a l i n j e n s e k v a t i o n : y = k x + m \sqrt{x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} x + m \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{x}{2 \sqrt{x}} + m \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{\sqrt{x}}{2} + m m = \frac{2 \sqrt{x}}{2} - \frac{\sqrt{x}}{2} \Rightarrow m = \frac{\sqrt{x}}{2} y = \frac{x}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2} \Rightarrow \frac{x}{2 \sqrt{x}} + \frac{x}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow \frac{2 x}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} y = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$

Här har jag gått fel någonstans då påståendet stämmer enligt facit och även kontrollerat i geogebra.
hjälp uppskattas!

Felet i din lösning beror på att du blandar ihop variabeln x med x-värdet i tangeringspunkten!

På näst understa raden skriver du:

$y = \frac{x}{2 \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{2}$

Om du kollar på din lösning i b) och sätter in värdena så motsvarar det:

$y = \frac{x}{2 \sqrt{4}} + \frac{\sqrt{4}}{2}$

Här ser du säkert att du inte kan förkorta $\frac{x}{2 \sqrt{4}}$ , men det är det du gör i din lösning på (c.

Det är ett vanligt misstag att blanda ihop variabeln x med x-värdet i en viss punkt. För att undvika det bör man använda olika beteckningar. Kalla tangeringspunkten för $(x_{t}, y_{t})$ istället. Då blir $y_{t} = \sqrt{x_{t}}$ , och du kan räkna vidare och lättare skilja variabeln x från x-värdet i tangeringspunkten $x_{t}$

Okej tror jag förstår, t.ex tangent $(a, \sqrt{a)}$

$1 . y (a) = \sqrt{a} 2 . y' (a) = \frac{1}{2 \sqrt{a}} 3 . \sqrt{a} = \frac{1}{2 \sqrt{a}} a + m 4 . \sqrt{a} = \frac{\sqrt{a}}{2} + m \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{a}}{2} 5 . y = \frac{1}{2 \sqrt{a}} x + \frac{\sqrt{a}}{2} \Rightarrow y = \frac{x}{2 \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2} 6 . y = 0 \Rightarrow \frac{x}{2 \sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{2} = 0 \Rightarrow 2 x = - 2 a \Rightarrow x = - a$

Ja, precis, bra!

SvanteR skrev:
Ja, precis, bra!

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar