tangentens ekvation

pannkaka123 skrev:

Hej! jag har i uppgift att lösa uppgiften:

 

Bestäm ekvationen för tangenten till f(x) = 2x^2 - 6x+ 4 i punkten x = 3 och skissa grafen och tangenten.

 

Jag har försökt lösa den på följande sätt:

Vi deriverar funktionen  f(x) = 2x2- 6x+ 4 för att bestämma ekvationen till tangenten i punkten x = 3:

STEG 1 = FLYTTA NER EXPONENTEN N OCH MULTIPLICERA MED TALET

f(x) = 2x2- 6x+ 4

f ‘ (x) = 2x2 -1 2 -  6x1-11 + D(4)

STEG 2 = SUBTRAHERA EXPONENTEN MED -1

f ‘ (x) = 4x1 -  6x0

f ‘ (x) = 4x -  6= tangentens generella ekvation

STEG 3 = BESTÄM f’(3)

f ‘ (3) = 4(3) - 6

f ‘ (3) = 12 - 6

f ‘ (3) = 6         = Ekvationen/ lutningen av tangenten då x= 3.

 

Men när jag kollar på detta i en grafritade räknare, eller desmos.com (sida som ritar ut funktioner i koordinatsystem) så blir det inte rätt tangent eftersom att den skär kurvan i fler punkter. Vad kan ha gått snett?

Det är svårt att förstå vad du skriver.

Använd tecknet ^ för att indikera en exponent.

Exempel:

$x^2$ kan skrivas som x^2

------

Du har korrekt beräknat tangentens lutning, men du har inte skrivit hur tangentens ekvation ser ut.

$x^2$ är det jag menar, har bara svårt för att använda verktyget

Det är alltså 2${x^2}_{}$- 6x+ 4 som är funktionen. Jag ska försöka hitta ekvationen till tangenten i punkten x = 3, men är osäker på om jag navänder mig av rätt metod

pannkaka123 skrev:

Det är alltså 2${x^2}_{}$- 6x+ 4 som är funktionen. Jag ska försöka hitta ekvationen till tangenten i punkten x = 3, men är osäker på om jag navänder mig av rätt metod

 Du har korrekt beräknat tangentens lutning, men du har inte tagit fram tangentens ekvation.

Du har räknat ut riktningskoefficienten till tangenten. Då är alltså tangenten ekvationen y = 6x + m. x-värdet har du redan och genom att sätta in det i f(x) så får du y-värdet. Sätt in det i tangentens ekvation, lös ut m och så är det så gott som klart.

Ok, så 4x + 6 är alltså INTE tangentens "generella" ekvation? Om nej, så får jag fortfarande inte det till att bli rätt, eftersom att om jag sätter in x = 6 i den ursprungliga funktionen så är y = 40, vilket inte stämmer i koordinatsystemet. Om jag istället sätter in x=6 i den deriverade funktionen så blir y = -12, vilket inte heller stämmer då x-värdet inte är 3. ;/ 

pannkaka123 skrev:

Ok, så 4x + 6 är alltså INTE tangentens "generella" ekvation? Om nej, så får jag fortfarande inte det till att bli rätt, eftersom att om jag sätter in x = 6 i den ursprungliga funktionen så är y = 40, vilket inte stämmer i koordinatsystemet. Om jag istället sätter in x=6 i den deriverade funktionen så blir y = -12, vilket inte heller stämmer då x-värdet inte är 3. ;/ 

Nej, 4x + 6 är inte tangentens ekvation och du ska inte sätta in värdet 6 i någon ekvation. Det är tangentens lutning som har värdet 6.

Tangenten är en rät linje på formen y = kx + m, där du (korrekt) beräknat lutningen, dvs värdet på k, till 6.

Tangentens ekvation har då alltså formen y = 6x + m.

Nu gäller det att bestämma vad värdet på m är, och det kan du göra genom att du känner till en punkt på linjen, nämligen tangeringspunkten. Den har x-koordinaten 3 och y-koordinaten f(3).

Alla punkter på den räta linjen uppfyller sambandet y = 6x + m, så även tangeringspunkten.

Eftersom du känner till (eller lätt kan ta reda på) vilket x- och y-värde tangeringspunkten har så kan du beräkna värdet på m med hjälp av just detta samband. 

Kommer du vidare då?

Visa alla dina uträkningar så kan vi lättare hjälpa dig att hitta eventuella tankevurpor.

Hmm, fick nu fram y = 6x + 4 när jag stoppade in f(3) i 2$x^2$ - 6x + 4. Stämmer det? Den skär fortfarande inte x-axeln där x = 3? Är det fortfarande rätt eller är jag ute och cyklar? 

pannkaka123 skrev:

Hmm, fick nu fram y = 6x + 4 när jag stoppade in f(3) i 2$x^2$ - 6x + 4. Stämmer det? Den skär fortfarande inte x-axeln där x = 3? Är det fortfarande rätt eller är jag ute och cyklar? 

Nej det stämmer inte.

Ditt värde på m stämmer inte, men jag kan bara gissa varifrån du har fått det.

Det är bättre både för oss och för dig att du berättar hur du tänker och att du visar alla dina uträkningar.

Då slipper vi gissa vad det är som du gör fel.

Det här är min uträkning, men det är uppenbarligen fel. Jag vet inte riktigt hur jag ska tänka, har inget problem med räta linjens ekvation, men blir otroligt förvirrad nu när vi har en annan funktion med i bilden.

jag har provat att sätta in f(3) i den deriverade funktionen, men får inte heller ut rätt svar.

Vad är funktionens värde när x=3? Vad är y för din linje när x=3?

STEG 1: Vad är derivatan av en konstant (t ex 4)?

STEG 2: Vad är det du sysslar med? Är både STEG 1 och STEG 2 ett krångligt sätt att beskriva "Derivera f(x)"?

STEG 3:  Du vet att tangentens riktningskoefficient är 6 och att den skall gå genom punkten (3,f(3)) d v s genom punkten (3,4). Du vet också att ekvationen för en rät linje kan skrivas som y=kx+m. Sätt in x, y och k i det sambandet och beräkna m.

pannkaka123 skrev:

jag har provat att sätta in f(3) i den deriverade funktionen, men får inte heller ut rätt svar.

 pannkaka123, vet du att du kan redigera ditt inlägg (inom 2 timmar), så att du slipper bumpa tråden?(Om någon har hunnit svara på ditt förra inlägg är det bätre att du skriver ett nytt - annars är det stor risk att man missar din redigering.) /moderator

1. Derivatan av en konstant = 0

2. Vet faktiskt inte själv

3. har provat den metoden också, men får fram att m = -14, vilket inte heller stämmer. (y = 6x -14)

Det verkar lite förvillande det här. Du kanske blandar ihop tangentpunkt och skärningspunkt.

pannkaka123 skrev:

Det här är min uträkning, men det är uppenbarligen fel. Jag vet inte riktigt hur jag ska tänka, har inget problem med räta linjens ekvation, men blir otroligt förvirrad nu när vi har en annan funktion med i bilden.

Sista raden är fel, helt enkelt. Varför skriver du "min uträkning"? Det verkar vara nån tryckt text.

Jag löser uppgiften i ett google-dokument eftersom att det ska skickas in. Tangentpunkten är ju när en rät linje skär en kurva i en punkt, det är därför jag blir lite förvirrad av hur jag ska gå till väga. Jag har provat tre metoder nu och det blir fortfarande inte rätt i ett koordinatsystem. Har jag fel när jag tänker att jag ska hitta en rät linje som går igenom punkten x=3 när den skär kurvan? om det är fallet, vet jag inte mer vilka metoder som finns?

pannkaka123 skrev:

Jag löser uppgiften i ett google-dokument eftersom att det ska skickas in. Tangentpunkten är ju när en rät linje skär en kurva i en punkt, det är därför jag blir lite förvirrad av hur jag ska gå till väga. Jag har provat tre metoder nu och det blir fortfarande inte rätt i ett koordinatsystem. Har jag fel när jag tänker att jag ska hitta en rät linje som går igenom punkten x=3 när den skär kurvan? om det är fallet, vet jag inte mer vilka metoder som finns?

 Derivatan vid x=3 beräknar endast lutning av tangenten, ifall du har en linje som har lutning 6 och skär funktionen $2x^2-6x+4$ i x=3 vad är den rätta linjens ekvation?

Det känns som att svaret är rakt framför ögonen på mig, men jag vet verkligen inte vad.

Du blandar ihop tangeringspunktens y-koordinat med tangentens m-värde. Tangeringspunktens y-koordinat är inte lika med tangentens m-värde.

Men du kan använda tangeringspunktens koordinater för att beräkna tangentens m-värde.

Du har kommit fram till följande, vilket är korrekt:

1. Tangenten har lutningen 6. Det betyder att tangentens ekvation är på formen y = 6x + m.
2. Tangeringspunktens y-koordinat är 4. Det betyder att tangeringspunkten har koordinaterna (3,4).

Nu kan du beräkna m-värdet i y = 6x + m genom att använda tangeringspunktens koordinater i tangentens ekvation.

---------------------------------------

Här kan du få en kokbokslösning på problem som handlar om just detta, eftersom du kommer att stöta på många liknande problem under din studietid.

Uppgift:

Bestäm ekvationen för tangenten till $f(x)$ vid den tangeringspunkt vars x-värde är $x_0$.

Steg 1: Derivera funktionen. Då får då ett uttryck för $f'(x)$, som för varje värde på x beskriver tangentens lutning vid respektive x-värde. 

Steg 2: Sätt in $x_0$ i uttrycket för $f'(x)$. Detta, dvs $f'(x_0)$, ger dig tangentens lutning vid den aktuella tangeringspunkten.

Steg 3: Ta reda på tangeringspunktens y-koordinat. Den får du genom att sätta in $x_0$ i uttrycket för $f(x)$. Tangeringspunkten har alltså koordinaterna $(x_0,f(x_0))$.

Steg 4: Ta reda på m-värdet i uttrycket för tangentens ekvation $y=kx+m$. Du har redan beräknat k-värdet i steg 2. Tangenten är en rät linje som alltså uppfyller sambandet $y=f'(x_0)\cdot x+m$. Eftersom alla punkter på tangenten uppfyller detta samband så uppfyller även tangeringspunkten $(x_0,f(x_0))$ detta samband. Det ger dig följande ekvation för m: $f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+m$, vilket innebär att $m=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$.

Steg 5: Skriv ekvationen för tangenten på k-form: $y=f'(x_0)\cdot x+f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0$

ok, men då behöver inte tangenten gå genom x = 3, utan då är den helt enkelt -14. Tack för hjälpen!

pannkaka123 skrev:

ok, men då behöver inte tangenten gå genom x = 3, utan då är den helt enkelt -14. Tack för hjälpen!

Jag tror att du blandar ihop begreppen här.

Tangenten är en rät linje som korsar y-axeln vid y = -14 och som tangerar f(x) i punkten (3, 4), så jo, tangenten går visst genom x = 3.

Att skriva att "tangenten är -14" är fel.

---------

Jag är osäker på om du förstår tillvägagångssättet.

Kan du visa att du förstår genom att lösa följande uppgift?

Uppgift: Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar $g(x)=x^2-8x$ där $x=1$.

Hoppsan, jag menade att m-värdet var -14! alltså att tangentens ekvation är y = 6x -14! :)

pannkaka123 skrev:

Hoppsan, jag menade att m-värdet var -14! alltså att tangentens ekvation är y = 6x -14! :)

 OK bra. Skulle du kunna komma fram till det på egen hand nu efter hjälpen du har fått?

Absolut! Genom att lösa ut m med k-värdet och koordinaten (3,4), blev bara förvirrad då jag trodde att tangenten behövde gå genom x=3, vilket m-värdet -14 inte gjorde. Tack för hjälpen!

pannkaka123 skrev:

Absolut! Genom att lösa ut m med k-värdet och koordinaten (3,4), blev bara förvirrad då jag trodde att tangenten behövde gå genom x=3, vilket m-värdet -14 inte gjorde. Tack för hjälpen!

Jag kanske är petig, men jag tror att du i längden tjänar på att använda korrekta termer när du beskriver dina tankar.

Du skriver 

... jag trodde att tangenten behövde gå genom x=3, vilket m-värdet -14 inte gjorde.

Men detta är felaktigt eller i bästa fall otydligt.

• Tangenten går faktiskt genom linjen x = 3.
• Du skriver att "m-värdet -14 inte går genom x = 3", men ett m-värde "går" inte genom en linje.

Du kan istället uttrycka dig på följande sätt:

Tangenten är en rät linje som passerar x = 3 i tangeringspunkten (3, 4). Denna räta linje passerar y-axeln vid y = -14, dvs i punkten (0, -14).

pannkaka123 skrev:

1. Derivatan av en konstant = 0

2. Vet faktiskt inte själv

3. har provat den metoden också, men får fram att m = -14, vilket inte heller stämmer. (y = 6x -14)

 Om du hade förstått vad det var meningen att du skulle göra, hade du löst uppgiften redan här - för 14 timmar sedan. Det verkar som om du behöver lära dig vad olika "matte-ord" betyder.