Tangenten

Det stämmer inte riktigt.

Det känns som att du utför beräkningar utan att egentligen först ha tänkt efter vad det är du ska ta reda på.

Kan du med ord beskriva vad det är du har räknat ut och varför?

Jag deriverar funktionen för att hitta lutningen på tangenten. Där efter sätter jag m värdet till 0 därför att linjen går igenom origo

Lisa14500 skrev:

Jag deriverar funktionen för att hitta lutningen på tangenten. Där efter sätter jag m värdet till 0 därför att linjen går igenom origo

Det står att tangenten går genom origo, det står inte att tangeringspunkten är origo.

När du deriverar funktionen så får du fram derivatafunktionen $f'(x)$.

I det här fallet får du mycket riktigt att $f'(x)=2e^{2x}$. 

Denna funktions värde vid ett visst värde på $x$ är lika med lutningen på den tangent som tangerar grafen till $f(x)$ vid samma $x$-värde.

Med andra ord: $f'(x)$ är lutningen på den räta linje som tangerar grafen vid punkten $(x,f(x))$.

Det betyder till exempel att

• $f'(-2)$ är lika med lutningen på den räta linje som tangerar grafen vid punkten $(-2,e^{2\cdot (-2)})$, dvs vid $(-2,e^{-4})$
• $f'(-1)$ är lika med lutningen på den räta linje som tangerar grafen vid punkten $(-1,e^{2\cdot (-1)})$, dvs vid $(-1,e^{-2})$
• $f'(0)$ är lika med lutningen på den räta linje som tangerar grafen vid punkten $(0,e^{2\cdot0})$, dvs vid $(0,1)$
• $f'(1)$ är lika med lutningen på den räta linje som tangerar grafen vid punkten $(1,e^{2\cdot1})$, dvs vid $(1,e^{2})$

Ingen av dessa tangeringspunkter är origo.

I själva verket går inte ens grafen till $f(x)$ genom origo.

Tips: Skissa grafen till $f(x)$ grovt och försök att rita en tangent som går genom origo. 

Hur kan f’(-2) vara lika med  e^2*(-2)? 
borde det inte bli  2*e^(2*-2) = 2*e^(-4) 

Lisa14500 skrev:

Hur kan f’(-2) vara lika med  e^2*(-2)? 
borde det inte bli  2*e^(2*-2) = 2*e^(-4) 

Det har jag inte skrivit. Jag skrev att tangeringspunkten ligger vid $(-2,e^{-4})$ 

Ja men hur beräknar man tangeringspunkten och vad har den för betydelse i det här fallet? Är det inte genom att sätta in det givna x värdet i uttrycket 

f’(x)=2e^(2x)

Jag tror att du har lättare att förstå hur det ser ut, vad som efterfrågas och hur du ska ta reda på det om du tydliggör det visuellt.

Skissa grafen till $f(x)$ grovt och försök att rita en tangent som går genom origo. 

Din skiss behöver inte alls vara noggrann, det är endast det principiella utseendet som behövs.

Visa din skiss.

Utmärkt!

Jag har markerat tangeringspunkten med rött i bilden.

Kalla tangeringspunktens koordinater för $(x,y)$.

Eftersom punkten ligger på grafen till kurvan så gäller att $y=e^{2x}$

Då har du en punkt på tangenten.

En annan punkt på tangenten är origo.

Det hjälper dig att ta fram ett uttryck för tangentens lutning.

Kombinera det med ett annat uttryck för tangentens lutning så har du ett samband som hjälper dig att bestämma tangeringspunktens $x$-koordinat.

Just den här delen av lösningen liknar väldigt mycket det i din andra samtidiga tråd, den om tangenterna som skär varandra i punkten (-3,16).

Jag tror inte att jag riktigt förstår. Ska det vara punkterna (0,0) och (-3,16) som jag utgå ifrån? Dvs ska jag räkna ut delta(y)/delta(x)=k?

Nej punkten (-3, 16) har inget med den här uppgiften att göra.

I den här uppgiften känner du till två punkter på tangenten:

Dels tangeringspunkten $(x,e^{2x})$ och dels origo $(0,0)$

Det betyder att du kan ställa upp ett samband för tangentens lutning som lyder $$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{e^{2x}-0}{x-0}=\frac{e^{2x}}[x}$$

Du vet även att tangenten har lutningen $f'(x)$, dvs att $k=f'(x)=2e^{2x}$

Dessa två uttryck beskriver samma sak, vilket betyder att de måste vara lika med varandra.

Det ger dig ekvationen $2e^{2x}=\frac{e^{2x}}{x}$.

Om du löser den ekvationen så får du fram $x$-koordinaten för tangeringspunkten.

Kommer du vidare då?

Ser nu att jag slarvade med fornateringen igår.

Det svårlästa stycket ska lyda så här:

Det betyder att du kan ställa upp ett samband för tangentens lutning som lyder $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{e^{2x}-0}{x-0}=\frac{e^{2x}}{x}$

Okej nu börjar jag förstå frågan mer. 
K värdet då x=1/2 

2e^2*1/2=

2e¹=2e

punkten är (1/2 ; e^2*1/2) -> (1/2 ; e^1)

enpunktsformel

y-e=(2e)(x-0.5)

y=2ex-e+e=2ex

Jag ser att det står e^2x på båda sidor. Vad händer om du dividerar med e^2x?

Jag har redigerat inlägget. 

Lisa14500 skrev:

...

y=2ex-e+e=2ex

Du har kommit fram till rätt svar, att tangentens ekvation är y = 2ex.

Jag har dock en fråga. Varför ska x=0 uteslutas i det här fallet? Man ska bara utgå från att x=1/2

x = 0 är inte en lösning till ekvationen. Varför ska x = 0 vara med?

Hur är det inte en lösning?

Lisa14500 skrev:

Jag har dock en fråga. Varför ska x=0 uteslutas i det här fallet? Man ska bara utgå från att x=1/2

Jag förståt inte riktigt vad du menar med att x = 0 utesluts.

Det finns endast en tangent och en tangeringspunkt. Denna tangeringspunkt har x-koordinaten x = 1/2.

Frågan gäller vilken ekvation denna tangent har, dvs vilka värden k och m har i räta linjens ekvation y = kx + m.

Vad har funktionen f(x) för värde när x = 0? Vad har kurvan för lutning?

EDIT: Oj, det här var helt fel fråga i det här sammanhanget. Jag borde läsa frågan ordentligt innan jag svarar!

I en annan uppgift som Yngve hjälpte mig med som handlar om att man istället ska hitta 2 tangenters ekvation får man ut 2 värden på x likt som i denna uppgift. Där använder man de 2 x värden för att beräkna 2 olika k värden. Men i det här fallet är det bara en ekvation/tangent som sökes trots att jag får fram till 2 värden . X1=1/2 och X2=0

Nej, ekvationen du löser här ger endast en lösning, nämligen x = 1/2. Den andra punkten, med x = 0, är inte en lösnig till ekvationen.

Ekvationen i denna uppgift ger dig alltså endast en tangeringspunkt. Detta eftersom det i denna uppgift endast finns en tangent.

Ekvationen i den andra uppgiften gav dig två olika tangeringspunkter. Detta eftersom det i den uppgiften fanns två olika tangenter.

Ok nu förstår jag. Det står ju redan angivet i uppgiften att den ena punkten kommer vara då x=0. Då kan den andra inte heller vara 0 utan självfallet så måste ju det vara x=1/2. 

jag håller på att repetera alla uppgiften som jag har gjort. Och inser nu att jag inte har förstått denna uppgift. 

Om tangenten tangerar f(x) borde inte sambandet 

f(x)=g(x)

och 

f’(x)=g’(x) gälla? Det sambandet som vi tidigare har diskuterat i andra liknande frågor? 

g(x) är tangentens ekvation. 
g(x)=kx+m 

derivatan av f(x) ger oss lutningen för tangenten g(x) vid en viss punkt x. 
f(x)=e^2x

f’(x)=2e^2x -> lutningen vid en viss punkt x. 
f’(0)=2e^2*0= 2

y=2x+m

- 

Varför ska man i det här fallet använda sig metoden delta(y)/delta(x)=k där man utgår från två punkter 

(x,e^2x) och (0,0). 

Varför ska man inte använda metoden 

g(x)=f(x)

g’(x)=f’(x)?

- 

Jag förvirras väldigt mycket av vilken metod jag ska använda mig av.

eller nu har jag klurat ut det och förstått det på egen hand! Nu fattar jag!

Förlåt mig men jag måste verkligen ställa frågan. Varför är det fel att ta delta y/delta x med hjälp av punkterna (x,e^2x) och (0,0) och sätta det lika med derivatan av funktionen f(x). Dvs f’(x)=2e*2x . Lutningen då x=0 är lika stor som lutningen i punkten (x,e^2x) därför att det är en och samma tangent. Så varför kan man inte sätta uttrycket delta y/delta x = f’(0)=2*e^2*0=2? 

Lisa14500 skrev:

Förlåt mig men jag måste verkligen ställa frågan.

Du behöver absolut inte be om ursäkt. Det är viktigt att du förstår till fullo.

Varför är det fel att ta delta y/delta x med hjälp av punkterna (x,e^2x) och (0,0) och sätta det lika med derivatan av funktionen f(x). Dvs f’(x)=2e*2x .

Just denna del är inte fel. Det är helt rätt.

Lutningen då x=0 är lika stor som lutningen i punkten (x,e^2x) därför att det är en och samma tangent. Så varför kan man inte sätta uttrycket delta y/delta x = f’(0)=2*e^2*0=2? 

Det stämmer att tangentens lutning i origo är lika stor som samma tangents lutning i tangeringspunkten. Tangentens lutning är lika stor som derivatans värde i tangeringspunkten, dvs $f'(x_1)$, där $x_1$ är tangeringspunktens x-koordinat.

Men den lutningen är inte lika med $f'(0)$ eftersom tangeringspunktens x-koordinat inte är lika med 0.

Därför har $f'(0)$ ingenting med uppgiften att göra.

Rita in tangenten vid x = 0 i din figur så ser du att den tangenten har en helt annan lutning än tangenten som går genom origo.

Se för övrigt svar i din andra tråd.