Tangent till kurva

Hur blir tangentens ekvation för x = a? (0 < a < 1)

Om du har en linje på formen y=kx+m så kommer den att skära y-axeln vid m och x-axeln vid $-\frac{m}{k}$

Triangelns area blir då $-\frac{m^2}{2k}$

Skriv den som en funktion av tangeringspunktens x-koordinat och sök minpunkt på vanligt sätt.

$y_t = kx+m$, och byter vi ut x mot a fås: $y_t=ak+m$, lutning för tangenten ges av y'(a)=-2a. 
$y_t=-2a^2+m$. Hur kan jag behandla m? Detta börjar ju likna en adragradare vilket låter rimligt eftersom det kommer ju finnas en triangel i 2a kvadrant (dock inte aktuellt eftersom vi är begränsade till första). Jag har en känsla av att extrempunkten kanske ska användas? men jag kanske tänker fel.

SvanteR skrev:

Om du har en linje på formen y=kx+m så kommer den att skära y-axeln vid m och x-axeln vid $-\frac{m}{k}$

Triangelns area blir då $-\frac{m^2}{2k}$

Skriv den som en funktion av tangeringspunktens x-koordinat och sök minpunkt på vanligt sätt.

Jag hänger med på att den skär y-axeln vid m, men inte helt säker på varför den skär x-axlen vid $- \dfrac{m}{k}$,
$A= \dfrac {b \cdot h}{2}$ så jag förstår vart 2k kom ifrån och $m^2$.

Skriv tangentens ekvation på enpunktsform

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

Alla punkter på x-axeln har y-koordinaten 0. Då får man ekvationen 0 = kx + m. Lös den ekvationen för x.

$f(a) = 1-a^2, f'(a) = -2a$, enpunktsformeln ger: $y-f(a)=f'(a)(x-a) \implies y=f'(a)(x-a)+f(a) \implies y = -2a(x-a)+1-a^2$
med lite förenklig fås $y = a^2-2ax+1$. Detta ger att $x = \frac{a^2+1}{-2a}$ dvs att $b= \frac{a^2+1}{-2a}$
$A= \frac{bh}{2} \implies m=a^2+1 \implies A(a)= \frac{(a^2+1)^2}{-4a}$, Detta ger $A'(a)= \frac{-3a^4+2a^2-1}{4a^2}$
Detta ger att $a = \frac{1}{ \sqrt{3}}$ som är en min-punkt. Detta ger $A( \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{-4}{3 \sqrt{3}}$

Arean kan inte vara negativ. Dubbelkolla dina beräkningar

Hej, du har helt rätt. $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ men eftersom vi endast behandlar första kvadrant gäller endast den positiva roten. Tar jag den negativa roten istället blir arean positiv. Men just precis som integraler kan ju area bli negativ men vi behandlar area som positiv oavsett om integralen blir negativ. Jag märkte i efterhand att jag aldrig behövde beräkna arean utan endast hitta (x,y) koordinaten. Jag borde nog har uppdaterat mitt inlägg. Tack för inlägget dock Mohammad och självklart tack till dig Dr.G och SvanteR.