Tangent till enhetscirkeln (Matematik/Matte 3/Trigonometri)

Har du ritat?

Ja, det enda jag kommer fram till är att radien är 1 och lutningen är -1,5 som är bekant. Däremot vet jag inte hur jag skall kunna få fram ett x eller y värde utifrån dessa uppgifter bara.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Ja, enhetscirkeln har jag ritat utan radie

PH18 skrev:
Ja, enhetscirkeln har jag ritat utan radie

Det här är obegripligt. Enhetscirkeln har radien 1, annars är det inte en enhetscirkel.

Vilken formel y(x) har enhetscirkeln i första kvadranten?

Vilken formel har en rät klinje med lutningen -1,5? Rita en sådan i närheten av enhetscirkeln, så att du får en känsla för var punkten P ligger.

Du har cirkelns ekvation samt att radien är 1. Där har du en ekvation.

Sedan vet du att radien till punkten är vinkelrät mot linjen med lutning -1,5 det gör att du kan teckna ekvationen för radien.

Där har du två ekvationer, lös ekvationssystemet.

Ekvationen för en cirkel i xy-planet med medelpunkt i $(x_m, y_m)$ och radie $r$ lyder $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ .

Enhetscirkeln har medelpunkt i $(0,0)$ och radie $1$ . Alltså är ekvationen för enhetscirkeln $x^2+y^2=1$ .

Kommer du vidare då?

Yngve skrev:
Ekvationen för en cirkel i xy-planet med medelpunkt i $(x_m, y_m)$ och radie $r$ lyder $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ .
Enhetscirkeln har medelpunkt i $(0,0)$ och radie $1$ . Alltså är ekvationen för enhetscirkeln $x^2+y^2=1$ .
Kommer du vidare då?

Står helt still just nu! Är jag ute och cyklar om jag ska tänka derivering av ekvationen?

PH18 skrev:
Yngve skrev:
Ekvationen för en cirkel i xy-planet med medelpunkt i $(x_m, y_m)$ och radie $r$ lyder $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ .
Enhetscirkeln har medelpunkt i $(0,0)$ och radie $1$ . Alltså är ekvationen för enhetscirkeln $x^2+y^2=1$ .
Kommer du vidare då?
Står helt still just nu! Är jag ute och cyklar om jag ska tänka derivering av ekvationen?

Nej, det tycker jag inte. Deriverar man får man veta något om lutningen. Eftersom det är en cirkel, och den har så välbekanta egenskaper, så kan man göra på andra sätt också, och jag vet inte just nu vilket som är smidigast.

Men rita, och inför namn på relevant längder och punkter.

PH18 skrev:

Står helt still just nu! Är jag ute och cyklar om jag ska tänka derivering av ekvationen?

Om du kan derivera den redan nu så är det en bra väg framåt, men metoder att derivera sådana uttryck kommer först i Matte 4.

En alternativ och väldigt snygg lösning tycker jag är en variant på den som AndersW antydde, nämligen att

En linje som tangerar en cirkel är vinkelrät mot den radie som går ut till tangeringspunkten. Det ger dig riktningskoefficienten för radien.
Eftersom det är en enhetscirkel så utgår radien från origo, vilket ger dig en känd punkt på radien och därmed radiens ekvation.
Tangeringspunkten P ligger både på radien och på tangenten, vilket innebär att den uppfyller båda dessa ekvationer.
Dessa ekvationer utgör ett linjärt ekvationssystem som du enkelt löser med kända metoder. Lösningen är koordinaterna för punkten P.

Yngve. Med din variant på min metod: Du har ju inte den fullständiga ekvationen för tangenten, du saknar m-värdet. För att bestämma m-värdet för tangenten måste du ha en punkt. Visst kan du uttrycka denna med x1 och y1 eller liknande, dvs den punkt vi söker men då blir ekvationssystemet inte vackert. Eller tänker jag fel?

Därför tycker nog jag att det blir enklare att använda cirkelns ekvation och radiens ekvation. Löser man detta får man två punkter men den ena ligger i tredje kvadranten så den går bort.

AndersW skrev:
Yngve. Med din variant på min metod: Du har ju inte den fullständiga ekvationen för tangenten, du saknar m-värdet. För att bestämma m-värdet för tangenten måste du ha en punkt. Visst kan du uttrycka denna med x1 och y1 eller liknande, dvs den punkt vi söker men då blir ekvationssystemet inte vackert. Eller tänker jag fel?
Därför tycker nog jag att det blir enklare att använda cirkelns ekvation och radiens ekvation. Löser man detta får man två punkter men den ena ligger i tredje kvadranten så den går bort.

Du har rätt. Jag läste slarvigt och fick för mig att tangentens ekvation var given.

För närvarande korvstoppning. Förstår inte hur jag ska ta mig an detta trots eran hjälp tyvärr. Förstår hur ni menar med ekvation men ändå inte, allt jag vet är ju att radien är 1 och y mot x är 90 grader, men ingen aning om hur jag ska ställa upp det....

Enhetscirkeln har ekvationen $x^2+y^2=1$ . Kan du lösa ut y(x) ur den formeln? (Du kan strunta i att det blir ett negativt värde också, eftersom vi vet att vi skall vara i den första kvadranten.) Derivera funktionen och sätt derivatan lika med -1,5. Vilket x-värde får du? När du vet detta kan du beräkna y-värdet också.

Den andra metoden är att beräkna k-värdet för normalen till tangenten, d v s den radie som går genom tangeringspunkten. Eftersom centrum för enhetscirkeln ligger i origo, vet du att m-värdet för normalen/radien är 0. Om vi kallar normalens k-värde n så vet du att $y=nx$ . Sätt in detta i ekvationen $x^2+y^2=1$ , lös ut x och beräkna y.

Den andra metoden känns enklare, men jag raderar inte den första ändå.

Smaragdalena skrev:
Enhetscirkeln har ekvationen $x^2+y^2=1$ . Kan du lösa ut y(x) ur den formeln? (Du kan strunta i att det blir ett negativt värde också, eftersom vi vet att vi skall vara i den första kvadranten.) Derivera funktionen och sätt derivatan lika med -1,5. Vilket x-värde får du? När du vet detta kan du beräkna y-värdet också.
...

Att derivera sådana uttryck kommer väl först i Matte 4?

Yngve skrev:
Smaragdalena skrev:
Enhetscirkeln har ekvationen $x^2+y^2=1$ . Kan du lösa ut y(x) ur den formeln? (Du kan strunta i att det blir ett negativt värde också, eftersom vi vet att vi skall vara i den första kvadranten.) Derivera funktionen och sätt derivatan lika med -1,5. Vilket x-värde får du? När du vet detta kan du beräkna y-värdet också.
...
Att derivera sådana uttryck kommer väl först i Matte 4?

Det har du rätt i - ytterligare en anledning att använda "metod 2" istället.

PH18 skrev:
För närvarande korvstoppning. Förstår inte hur jag ska ta mig an detta trots eran hjälp tyvärr. Förstår hur ni menar med ekvation men ändå inte, allt jag vet är ju att radien är 1 och y mot x är 90 grader, men ingen aning om hur jag ska ställa upp det....

Kan du säga varför du absolut inte vill rita en bild? Om vi alla ser situationen ftamför oss blir det mycket lättare att resonera.

Laguna skrev:
PH18 skrev:
För närvarande korvstoppning. Förstår inte hur jag ska ta mig an detta trots eran hjälp tyvärr. Förstår hur ni menar med ekvation men ändå inte, allt jag vet är ju att radien är 1 och y mot x är 90 grader, men ingen aning om hur jag ska ställa upp det....
Kan du säga varför du absolut inte vill rita en bild? Om vi alla ser situationen ftamför oss blir det mycket lättare att resonera.

Har jag skrivit att jag inte vill rita en bild? :) Hittills har jag fått bra svar och ska räkna på det och se till att jag förstår in och ut.

Eftersom nu ingen annan verkar villig att lägga upp en bild (fast PH18 borde gjort det, det ger en större förståelse för problemet om du gör det.)

I denna bild har vi nu vår tangent till enhetscirkeln och den radie som går till samma punkt.

En tangent till en cirkel och radien till tangeringspunkten är vinkelräta mot varandra

Det finns ett enkelt samband mellan riktningskoefficienterna mellan två vinkelräta linjer.

Därmed kan vi beräkna k för radien

Eftersom radien går genom origo kan vi skriva ekvationen för radien y=kx

Punkten vi söker är alltså lösningen till ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} y = k x \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{cases}$

Lösningen av detta kommer att ge två punkter men den ena ligger i tredje kvadranten så den kan vi bortse från då punkten skulle ligga i första kvadranten.

Jag tackar och bockar för alla er hjälp. Alltid lika kul att lära sig nått när man inte förstått innan:)