Tangent till cirkelns ekvation

Hej!

Har börjat lösa denna uppgift, men förstår inte hur jag ska få ut den.

"En tangent till en linje skär den bara i en punkt. Linjen $y = x + 1$ är en tangent till cirkeln $r^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2}$ . Bestäm r."

Jag ersatte y i cirkelns ekvation med tangentens funktion y.

$r^{2} = x^{2} + (x + 1 - 2)^{2} \Leftrightarrow r^{2} = x^{2} + (x - 1)^{2} \Leftrightarrow r^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x + 1 \Leftrightarrow r^{2} = 2 x^{2} - 2 x + 1$

Vad ska jag göra sedan? r har ju ett samband med x, men r:s värde ska ju vara oberoende av x.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Gjorde det nu med grafräknaren, men då ser det ut som att det finns två skärningspunkter. Å andra sidan vet jag inte om jag har lagt in cirkelns ekvation rätt, jag lade in den som $y = 2 x^{2} - 2 x + 1$ men det känns lite märkligt.

Om du har fått två skärningslinjer mellan linjen och cirkeln så är linjen en sekant, inte en tangent, d v s du har valt en för stor radie. Jag tror det är lättare att rita för hand, eftersom man då kan passa in en lagom stor cirkel på ett ungefär och räkna vidare.

Det finns många punkter på cirkeln som uppfyller cirkelns ekvation, och det finns många punkter på linjen som uppfyller räta linjens ekvation, men det finns bara en enda punkt som uppfyller båda, och det är det x-värdet du skall rälkna ut.

Faxxi skrev:
Gjorde det nu med grafräknaren, men då ser det ut som att det finns två skärningspunkter. Å andra sidan vet jag inte om jag har lagt in cirkelns ekvation rätt, jag lade in den som $y = 2 x^{2} - 2 x + 1$ men det känns lite märkligt.

Grafen till $y=2x^2-2x+1$ är en parabel, inte en cirkel, så det är inte rätt.

Cirkelns ekvation skrivs $r^2=(x-x_M)^2+(y-y_M)^2$ , där

$r$ är cirkelns radie

$(x_M,y_M)$ är cirkelns medelpunkt

Du vet var medelpunkten är (eller hur?) och ska nu bestämma radien $r$ så att den räta linjen tangerar cirkeln.

(0,2), så cirkeln är väl flyttad två steg uppåt.

Faxxi skrev:
(0,2), så cirkeln är väl flyttad två steg uppåt.

Ja det stämmer.

Nu kan du lösa uppgiften genom att rita linjen och en lagom stor cirkel på ett papper och sedan resonera kring de geometriska samband som måste gälla för skärningspunkten.

En annan väg är att använda det faktum att den radie som går ut till tangeringspunkten är vinkelrät mot den räta linje som tangerar cirkeln.

Först hittar k till linje som är tangent till cir.= 1 Nu kan räknar k till rad. = -1 och nu kan skriver ekv. Till rad lös de två ekv. Nu hittar tangent punkten. Rad.= [(y1-y2)^2+(X1-X2)^2]^(1/2)

Vilka koordinater har de båda punkterna som linjen går genom? Den ena är cirkelns medelpunkt, den andra på cirkelns periferi.

Tangenten går genom (0,1) och ( -1,0) .Efter lösning av två linjer ekv. R går genon (0,2) 0ch (1/2,3/2) och det tangent punkt.

Jag var otydlig. Linjen jag tänkte på är linjen som är vinkelrät mot tangenten och går genom cirkelns centrum. Du vet både skärningspunkten med y-axeln och lutningen för denna linje, och den skär tangenten i tangeringspunkten. Tangeringspunkten ligger på cirkelns periferi. Vilken är radien?

Svara

Visa senaste svar