Tangent och sekant

Jag ritade den här figuren för ett tag sedan. Kanske den kan komma till användning?
Vid x vill vi veta lutningen på tangenten. Om vi startar en bit ifrån så kommer i det här fallet tangenten att luta mera, men ju närmare vi kommer dvs. när h närmar sig noll så kommer vi väldigt nära lutningen just i punkten (x; y₁).

Hoppas att det här kan ge dig något. Väldigt roligt om du återkopplar, så jag får veta hur begriplig figuren är.
Det är inte jag som ställt frågan i uppgiften även om man kan tro det 😊

Om vi tar ett exempel  y= x². Då vet vi att med deriveringsregeln är $y^{\text{'}}\left(x\right)=2x$och när x = 4 så är $y^{\text{'}}\left(4\right)=8$ dvs. lutningen på tangenten är 8 vilket betyder att k = 8.

Om vi då tänker oss att vi inte kan deriveringsregeln, så kan vi välja två punkter på kurvan när t.ex. x = 4 och x = 5.
De punkterna är (4, 16) och (5, 25)
Då kan vi använda formeln för linjens lutning  $y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{25-16}{5-4}=\frac{9}{1}=9$då ser vi att vi har lite mer lutning än den vi söker.
Nu har vi ett avstånd mellan x₂ och x₁ som är 1 och det är det avståndet vi kallar för h. För att få ett bättre värde så minskar vi sedan h, men har vi en komplicerad ekvation så blir det en ganska krånglig väg att gå. 

Här kommer den snillrika lösningen med derivatans definition in. Om vi tillämpar den på vår punkt x = 4 så blir det så här:
y₂ = (4+h)²  y₁ = 4²  x₂ = 4+h och x₁ =4

Vi skriver in det i derivatans definition $y^{\text{'}}\left(4\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{(4+h)}^2-4^2}{(4+h)-4}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16+8h+h^2-16}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(8+h)}{h}$
och vi får bara 8 + h kvar och då ser vi att när h går mot noll så får vi svaret 8 och det visste vi redan eftersom vi har den färdiga formeln, men det är viktigt att förstå var den formeln kommer ifrån.

Själv tycker jag att det är nästan magiskt att det fungerar och det tyckte man också när Newton och Leibniz lade grunden till detta redan på 1600-talet.

En bra sak att komma ihåg är att lyckas man inte att förkorta bort nämnaren h så har man antagligen gjort fel, men det finns naturligtvis exempel där det inte går, men i treans mattebok kan vi nog gissa att de inte har sådana ekvationer 😊

ConnyN skrev:

Om vi tar ett exempel  y= x². Då vet vi att med deriveringsregeln är $y^{\text{'}}\left(x\right)=2x$och när x = 4 så är $y^{\text{'}}\left(4\right)=8$ dvs. lutningen på tangenten är 8 vilket betyder att k = 8.

Om vi då tänker oss att vi inte kan deriveringsregeln, så kan vi välja två punkter på kurvan när t.ex. x = 4 och x = 5.
De punkterna är (4, 16) och (5, 25)
Då kan vi använda formeln för linjens lutning  $y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{25-16}{5-4}=\frac{9}{1}=9$då ser vi att vi har lite mer lutning än den vi söker.
Nu har vi ett avstånd mellan x₂ och x₁ som är 1 och det är det avståndet vi kallar för h. För att få ett bättre värde så minskar vi sedan h, men har vi en komplicerad ekvation så blir det en ganska krånglig väg att gå. 

Här kommer den snillrika lösningen med derivatans definition in. Om vi tillämpar den på vår punkt x = 4 så blir det så här:
y₂ = (4+h)²  y₁ = 4²  x₂ = 4+h och x₁ =4

Vi skriver in det i derivatans definition $y^{\text{'}}\left(4\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{(4+h)}^2-4^2}{(4+h)-4}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{16+8h+h^2-16}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(8+h)}{h}$
och vi får bara 8 + h kvar och då ser vi att när h går mot noll så får vi svaret 8 och det visste vi redan eftersom vi har den färdiga formeln, men det är viktigt att förstå var den formeln kommer ifrån.

Själv tycker jag att det är nästan magiskt att det fungerar och det tyckte man också när Newton och Leibniz lade grunden till detta redan på 1600-talet.

En bra sak att komma ihåg är att lyckas man inte att förkorta bort nämnaren h så har man antagligen gjort fel, men det finns naturligtvis exempel där det inte går, men i treans mattebok kan vi nog gissa att de inte har sådana ekvationer 😊

hoppas du inte blir ledsen eller sur för min återkoppling alla är olika från person till person. Någon annan kanske förstår jättebra fast jag har lite svårt att komma in i det när jag väl börjar med ett nytt kapitel... för mig funkar det bäst när man förklarar väldigt grundläggande och med enkla exempel

Jag blir absolut inte sur! Det är jättebra återkoppling. När man lägger ner så pass mycket arbete som jag gjort så är det jättejobbigt att inte få svar. Nu kan jag ju ha en möjlighet att bemöta dig bättre nästa gång.

Att det kan vara svårt att hänga med på det jag skrivit är nog inte alls konstigt. 

Om jag skulle börja på rätt nivå skulle det här vara bra frågor?

1) Ser du att sekanten kommer att närma sig tangenten ju mindre avståndet h blir?

2) Är du med på att vi behöver två punkter för att räkna ut lutningen på sekanten?

3) Är du också med på att för tangenten känner vi till bara en punkt i figuren från din lärobok och den benämner dom (a, f(a))?

ConnyN skrev:

Jag blir absolut inte sur! Det är jättebra återkoppling. När man lägger ner så pass mycket arbete som jag gjort så är det jättejobbigt att inte få svar. Nu kan jag ju ha en möjlighet att bemöta dig bättre nästa gång.

Att det kan vara svårt att hänga med på det jag skrivit är nog inte alls konstigt. 

Om jag skulle börja på rätt nivå skulle det här vara bra frågor?

1) Ser du att sekanten kommer att närma sig tangenten ju mindre avståndet h blir?

2) Är du med på att vi behöver två punkter för att räkna ut lutningen på sekanten?

3) Är du också med på att för tangenten känner vi till bara en punkt i figuren från din lärobok och den benämner dom (a, f(a))?

ja jag är med så långt :) 

Egentligen står det inte mycket mer än så i din läroboks facit.
De konstaterar först att derivatans värde motsvaras av tangentens lutning.
Det betyder att y' = k 
De fortsätter med att när sekantens lutning närmar sig tangentens då vi gör avståndet mellan punkterna mindre.
Deras slutkläm är att gränsvärdet blir derivatans värde.

Det jag saknar i deras facit är deras egen fråga "hur definitionen ger detta"?

Det är väl mest det jag fokuserat på i mitt långa inlägg. Om du vill kan jag försöka förklara i steg hur mitt tänkta exempel skulle kunna förklara hur derivatans definition kan ge tangentens lutning. 

ConnyN skrev:

Egentligen står det inte mycket mer än så i din läroboks facit.
De konstaterar först att derivatans värde motsvaras av tangentens lutning.
Det betyder att y' = k 
De fortsätter med att när sekantens lutning närmar sig tangentens då vi gör avståndet mellan punkterna mindre.
Deras slutkläm är att gränsvärdet blir derivatans värde.

Det jag saknar i deras facit är deras egen fråga "hur definitionen ger detta"?

Det är väl mest det jag fokuserat på i mitt långa inlägg. Om du vill kan jag försöka förklara i steg hur mitt tänkta exempel skulle kunna förklara hur derivatans definition kan ge tangentens lutning. 

ja det skulle uppskattas men helst med enkla exempel och enkel förklaring som att förklara för någon som har svårt för matte... 

OK om vi börjar med en figur där vi har grafen y = x² inritad.
Eftersom jag ritat för hand så ser det nästan ut som en tangent, men det ska vara en sekant som skär kurvan i två punkter.
De två punkterna är (2, 4) och (1,1) 

Hur får jag fram punkterna? Jo jag sätter in värdet för x i formeln y = x² 
När x = 1 då blir y = 1, när x = 2 så blir y = 4 och när x = 3 så blir y = 9

Är du med så långt?

har du gråtit