tangens är en tangent på enhetscirkeln

Hej! Varför är tangens lika med RS?

Jag har aldrig tänkt på tangens från detta för mig nya perspektiv.

https://www.mathsisfun.com/geometry/unit-circle.html

Mina tankar: Här kan man ändra på vinkeln och få olika resultat för tangens! Det verkar som att tanx är en tangent till godtyckliga vinkeln, x rad. I första bilden verkar det som tangens definieras som stationär vid x=1? Vid x=1 är tan(0)=0, inte den långa RS? Jag förstår inte hur det kommer sig.

Tack för all assistans i förväg!

Vad menar du med att tangens är en tangent till godtyckliga vinkeln x rad? Var tangerar den vilken kurva, menar du?

Vad menar du med att tangens definieras som stationär vid x=1?

Tangens för en vinkel är lika med riktningskoefficienten för vinkelbenet. Om man drar ut vinkelbenet tills man kommer fram tills x-värdet blir 1, är y-värdet tan(v).

https://sv.wikipedia.org/wiki/Tangens

För alla stackare som precis som jag har problem med detta och svårigheter att hitta resurser som förklarar problemet så har jag lösningen! Denna video är genial!

https://www.youtube.com/watch?v=Vve4qCCZPWA

Om vinkeln är 0 så sammanfaller R och S, så då är RS inte så lång.

Vad menar du med "stationär"?

blygummi skrev:
...
Mina tankar: Här kan man ändra på vinkeln och få olika resultat för tangens!

Ja det stämmer. Olika värden på vinkeln ger olika värden på tangens för vinkeln.

Det verkar som att tanx är en tangent till godtyckliga vinkeln, x rad.
...

Nej tan(x) är inte tangenten utan längden på det tangentsegment som går mellan tangeringspunkten och x-axeln, dvs tan(x) = avståndet mellan punkt A och punkt B.

De två trianglarna OQP och OSR är likformiga. Det medför att kvoten $\frac{\sin x}{\cos x}$ för triangeln OQP är lika med kvoten $\frac{|SR|}{1}$ för triangeln OSR.

$\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{|SR|}{1} \iff \tan x = |SR|.$

Yngve skrev:
blygummi skrev:
...
Mina tankar: Här kan man ändra på vinkeln och få olika resultat för tangens!
Ja det stämmer. Olika värden på vinkeln ger olika värden på tangens för vinkeln.
Det verkar som att tanx är en tangent till godtyckliga vinkeln, x rad.
...
Nej tan(x) är inte tangenten utan längden på det tangentsegment som går mellan tangeringspunkten och x-axeln, dvs tan(x) = avståndet mellan punkt A och punkt B.

Hej! Tack för ditt svar! Hur kommer du på i din bild att tan(x) är just det?

Vilka är koordinaterna för punkten B?

Börja med att beräkna lutningen för den blå linjen.

Smaragdalena skrev:
Vilka är koordinaterna för punkten B?
Börja med att beräkna lutningen för den blå linjen.

k = deltaY/deltaX = sinx/(B-cos(x)) = sinx/B - sinx/cos(x) = sinx/B - tan(x)

Har du läst mitt inlägg om likformighet i denna tråd?

blygummi skrev:
Smaragdalena skrev:
Vilka är koordinaterna för punkten B?
Börja med att beräkna lutningen för den blå linjen.
k = deltaY/deltaX = sinx/(B-cos(x)) = sinx/B - sinx/cos(x) = sinx/B - tan(x)

Hur hade du tänkt beräkna det, när du inte känner till koordinaterna för B?

Tänk på att det finns ett enkels samband mellan riktningskoefficienten för den blå linjen och riktningskoefficienten för linjen mellan origo och punkten P.

blygummi skrev:
Yngve skrev:

Nej tan(x) är inte tangenten utan längden på det tangentsegment som går mellan tangeringspunkten och x-axeln, dvs tan(x) = avståndet mellan punkt A och punkt B.
Hej! Tack för ditt svar! Hur kommer du på i din bild att tan(x) är just det?

Kalla origo O.

Triangeln OAB är en rätvinklig triangel eftersom tangenten till en cirkel alltid är vinkelrät mot den radie som går till tangeringspunkten.

Eftersom tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel är lika med längden av motstående katet dividerat med längden av närstående katet så är $tan(\Theta)=\frac{|AB|}{|OA|}$ .

Eftersom $|OA|=1$ (enhetscirkel) så är $tan(\Theta)=|AB|$ .

Albiki skrev:
Har du läst mitt inlägg om likformighet i denna tråd?

Ja tack! Men vill gärna också förstå andras svar!

Yngve skrev:
blygummi skrev:
Yngve skrev:
Nej tan(x) är inte tangenten utan längden på det tangentsegment som går mellan tangeringspunkten och x-axeln, dvs tan(x) = avståndet mellan punkt A och punkt B.
Hej! Tack för ditt svar! Hur kommer du på i din bild att tan(x) är just det?
Kalla origo O.
Triangeln OAB är en rätvinklig triangel eftersom tangenten till en cirkel alltid är vinkelrät mot den radie som går till tangeringspunkten.
Eftersom tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel är lika med längden av motstående katet dividerat med längden av närstående katet så är $tan(\Theta)=\frac{|AB|}{|OA|}$ .
Eftersom $|OA|=1$ (enhetscirkel) så är $tan(\Theta)=|AB|$ .

Tack, supertydligt!

Svara

Visa senaste svar