Tangens

Använd enhetscirkeln. Rita upp x=sin(v) , y=cos(v), alltså enhetscirkeln. 

Ritai samma figur x=y. 

Om x är sinus och y är cos så skulle koordinaterna se ut så här. Skulle det inte innebära att tan skulle vara x÷y?

le chat skrev:

Om x är sinus och y är cos så skulle koordinaterna se ut så här. Skulle det inte innebära att tan skulle vara x÷y?

 Jo det stämmer.

Om x = sin(v) och y = cos(v) så är tan(v) = sin(v)/cos(v) = x/y.

Men det gäller inte alltid att x > y.

För vissa vinklar är x < y.

X-koordinaten motsvaras av cos v och y-koordinaten av sin v. Detta kan du själv härleda med hjälp av att hyptenusan är 1 l.e

Yngve skrev:

Om x är sinus och y är cos så skulle koordinaterna se ut så här. Skulle det inte innebära att tan skulle vara x÷y?

 Jo det stämmer.

Om x = sin(v) och y = cos(v) så är tan(v) = sin(v)/cos(v) = x/y.

Men det gäller inte alltid att x > y.

För vissa vinklar är x < y.

 X är större än y vid vinkeln 360 eftersom då är x = 1 och y = 0. I det här fallet är sinus som motsvarar x axeln 1 medan cosinus som motsvarar y-axeln är 0. 

Fundera på vad tangens har för värde om vinkeln är 60 grader (eller motsvarande i radianer).

le chat skrev:

Vid beräkningar av tangens är sinv alltid större än cosv, är detta ett korrekt påstående?

...

Svar på din ursprungsfråga: Nej det är inte ett korrekt påstående.

Exempel:

Om 45° < v < 225° så är sin(v) större än cos(v).

Om -135° < v < 45° så är sin(v) mindre än cos(v).

Kolla gärna detta med hjälp av enhetscirkeln.

le chat skrev

 X är större än y vid vinkeln 360 eftersom då är x = 1 och y = 0. I det här fallet är sinus som motsvarar x axeln 1 medan cosinus som motsvarar y-axeln är 0. 

 Du blandar ihop sinus och cosinus.

Om du kallar den horisontella axeln för x och den vertikala axeln för y så gäller att

x = cos(v)

y = sin(v)

Så tanv kan alltså ha ett sinus värde som är mindre än cosinus värde? 

Som Yngve skrev:

Om 45° < v < 225° så är sin(v) större än cos(v).

Om -135° < v < 45° så är sin(v) mindre än cos(v).

Kolla gärna detta med hjälp av enhetscirkeln.

(För mig underlättar det att tänka på att orden cosinus och sinus kommer i alfabetisk ordning, precis som x och y. Det känns lite bakvänt att det som är på x-axeln har ett krångligare namn än det som är på y-axeln.)

le chat skrev:

Så tanv kan alltså ha ett sinus värde som är mindre än cosinus värde? 

Ja det var precis det jag skrev i denna kommentar.

Ta till exempel följande vinklar:

• Om vinkeln är 0° så är sin(0°) = 0 och cos(0°) = 1. För denna vinkel så är sinusvärdet mindre än cosinusvärdet och här gäller att tan(0°) = sin(0°)/cos(0°) = 0/1 = 0
• Om vinkeln är -45° så är sin(-45°) = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ och cos(-45°) = $\frac{1}{\sqrt{2}}$. För denna vinkel så är sinusvärdet mindre än cosinusvärdet och här gäller att tan(-45°) = sin(-45°)/cos(-45°) = $\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = -1