tan(v/2) = sin(v)/(1+cos(v))?

Du kan botanisera här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Lista_%C3%B6ver_trigonometriska_identiteter

Har du testat tan(v/2)=sin(v/2)/cos(v/2) ?

Hjälper inte

(med reservation för att jag inte är helt säker på hur det blir med plus/minus, här är beviset)

$$\begin{gathered} \tan \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}=\frac{ \pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \left(x\right)}{2}}} }{ \pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1+\cos \left(x\right)}{2}}} }=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \left(x\right)}{1+\cos \left(x\right)}}= \\ \pm \sqrt{\frac{\left(1-\cos \left(x\right)\right)\left(1+\cos \left(x\right)\right)}{{\left(1+\cos \left(x\right)\right)}^2}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^2\left(x\right)}{{\left(1+\cos \left(x\right)\right)}^2}}=\pm \sqrt{\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{{\left(1+\cos \left(x\right)\right)}^2}}= \\ \frac{\sin \left(x\right)}{1+\cos \left(x\right)} \end{gathered}$$

Angående plus och minus.

tan(x) är periodisk med perioden $\pi$=> tan(x/2) har perioden $\pi /2$

Vi behöver alltså bara kolla om det stämmer när $0 \le x\le \pi$

$1+\cos x \ge 0$alltså behöver vi bara kolla om tan(x/2) och sin(x) har samma tecken när 0 ≤x≤π 

Vilket de har.

Utmärkt tillägg! :)

Man kan ju annars ta det från andra hållet:

$\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}$

$\cos \theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}-1$

Jag skrev fel där uppe.

Angående plus och minus.

tan(x) är periodisk med perioden π  => tan(x/2) har perioden 2π 

Vi behöver alltså bara kolla om det stämmer när -π ≤x≤π  

1+cosx ≥ 0 alltså behöver vi bara kolla om tan(x/2) och sin(x) har samma tecken när -π≤x≤π 

Vilket de har.

Dr. G skrev:

Man kan ju annars ta det från andra hållet:

$\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}$

$\cos \theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}-1$

Det är allt som krävs tror jag, tack!!