Taluppfattning (Matematik/Matte 1/Aritmetik)

Tips:

Arvid går till gymmet dag: $1,2,3,... = n_1$

Bea går till gymmet dag $2,4,6,... = 2n_2$

Calle går till gymmet dag $3,6,9,...=3n_3$

o.s.v.

där $n_1,n_2,n_3,...$ är ett positivt heltal.

Vilken är den lägsta kombinationen av dessa heltal sådan att:

$n_1=2n_2=3n_3=4n_4=5n_5=6n_6$ ?

tomast80 skrev :
Tips:
Arvid går till gymmet dag: $1,2,3,... = n_1$
Bea går till gymmet dag $2,4,6,... = 2n_2$
Calle går till gymmet dag $3,6,9,...=3n_3$
o.s.v.
där $n_1,n_2,n_3,...$ är ett positivt heltal.
Vilken är den lägsta kombinationen av dessa heltal sådan att:
$n_1=2n_2=3n_3=4n_4=5n_5=6n_6$ ?

Hur får jag fram denna kombination? Är helt borta sorry, vad för formel ska jag tillämpa för att få fram svaret? Eller ska jag primtalsfaktorisera?

Det tal N du söker är en multipel av 1. N är alltså ett heltal gånger 1.

Det tal N du söker är en multipel av 2. N är alltså ett heltal gånger 2.

Det tal N du söker är en multipel av 3. N är alltså ett heltal gånger 3.

Det tal N du söker är en multipel av 4. N är alltså ett heltal gånger 4

Det tal N du söker är en multipel av 5. N är alltså ett heltal gånger 5.

Det tal N du söker är en multipel av 6. N är alltså ett heltal gånger 6.

Fundera nu på vilka faktorer som måste ingå i ditt heltal N.

Titta på E och F, som går till gymmet var femte respektive sjätte dag. Hur många dagar tar det innan de kommer på samma dag igen? Funkar det med de andra personerna också? Nej, D kommer inte dit den gången. Hur blir det näst-nästa gång E och F kommer samtidigt till gymmet? Funkar det för alla då?

Bubo skrev :
Det tal N du söker är en multipel av 1. N är alltså ett heltal gånger 1.
Det tal N du söker är en multipel av 2. N är alltså ett heltal gånger 2.
Det tal N du söker är en multipel av 3. N är alltså ett heltal gånger 3.
Det tal N du söker är en multipel av 4. N är alltså ett heltal gånger 4
Det tal N du söker är en multipel av 5. N är alltså ett heltal gånger 5.
Det tal N du söker är en multipel av 6. N är alltså ett heltal gånger 6.
Fundera nu på vilka faktorer som måste ingå i ditt heltal N.

Är lösningen 6*5*4*3*2*1 = 720

720 = 6*120

2*3*3... är jag på rätt spår? Känner inte att jag är det, men så mycket tror jag att man ska göra iaf?

Nej, svaret är inte 720 dagar. Har du prövat tipset jag gav dig?

Titta på E och F, som går till gymmet var femte respektive sjätte dag. Hur många dagar tar det innan de kommer på samma dag igen? Funkar det med de andra personerna också? Nej, D kommer inte dit den gången. Hur blir det näst-nästa gång E och F kommer samtidigt till gymmet? Funkar det för alla då?

Jämför t.ex. "Varannan dag" och " var sjätte dag". De ses inte var tolfte dag, utan...

Varför är det så?

Smaragdalena skrev :
Nej, svaret är inte 720 dagar. Har du prövat tipset jag gav dig?
Titta på E och F, som går till gymmet var femte respektive sjätte dag. Hur många dagar tar det innan de kommer på samma dag igen? Funkar det med de andra personerna också? Nej, D kommer inte dit den gången. Hur blir det näst-nästa gång E och F kommer samtidigt till gymmet? Funkar det för alla då?

Jag fattar inte hur man löser frågan med hjälp av en matematisk formel, rent spontant tror jag att man ska multiplicera alla 6 genom 1*2*3*4*5*6, för att sedan få fram 720 och hitta mitt N genom primtalsfaktorisering?

Om vi kallar "idag" för dag 0 så kommer F att gå dit på dag 6, 12, 18, 24 och 30. E kommer att gå dit på dag 5, 10, 15, 20, 25 och 30. Första gången de träffas igen är alltså dag 30. Vilka andra kommer att vara där den dagen? A är där alla dagar så han är där, B är där alla dagar som är delbara med 2 så hon är där, C är där alla dagar som är delbara med 3 så han är där, men D kommer inte att vara där eftersom 30 inte är delbart med 4.

Nästa gång E och F kommer till gymmet samtidigt är efter 60 dagar, och då kommer alla att vara där. Förstår du varför?

Men om vi gör problemet lite enklare genom att endast ha med tre personer.

Person 1 går varannan dag.

Person 2 går var tredje dag.

Person 3 går var sjätte dag.

Person 1 går dit om {2, 4, 6, 8, 10, 12...} dagar.

Person 2 går dit om {3, 6, 9, 12...} dagar.

Person 3 går dit om {6, 12, 18, 24...} dagar.

Om hur många dagar är person 1, 2 och 3 där samtidigt? Jo, om 6 dagar, därför att det är det första talet som dyker upp i alla ovanstående talföljder.

Och, vilka är de minsta heltal $(i, j ,k)$ som ger att:

$2 \cdot i = 3 \cdot j = 6 \cdot k$

Jo, $(i,j,k) = (3,2,1)$ . $6$ är den minsta gemensamma multipeln av $2, 3, 6$ .

Det finns en formel som använder primtalsfaktoriseringen av talen.

$2$ innehåller en tvåa.

$3$ innehåller en trea.

$6=2\cdot3$ innehåller en tvåa och en trea.

Så svaret, den minsta gemensamma multipeln, måste innehålla en tvåa och en trea. Detta för att det är det största antalet tvåor och treor som förekommer hos primtalsfaktoriseringen av $2$ , $3$ , och $6$ .

Bubo skrev :
Jämför t.ex. "Varannan dag" och " var sjätte dag". De ses inte var tolfte dag, utan...
Varför är det så?

Förstår fortfarande inte. Han som går varannan dag kan träffa hon som går var 6:e dag på 3:e gymbesöket, eftersom 2+2+2. Han som går var 3:e dag träffar henne på 2:a gymbesöket, han som går varje dag = 6:e gymbesöket, han som går var 4:e dag måste vänta 12 gymbesök eftersom 4+4+4=12 och 6+6 = 12, han som går var 5:e dag måste vänta till 30:e gymbesöket innan han kan träffa hon som går var 6:e dag. Så, vad kan man dra för slutsats eftersom det i facit står 60 dagar? Kan man se att jag påpekar svaret i denna förklaring?

Dani163 skrev :

Jag fattar inte hur man löser frågan med hjälp av en matematisk formel ...

Varför vill du ha en matematusk formel? Kommer du att då förstå problemet och förstå varför svaret blir som det blir?

Jag tror att ett mycket bättre sätt att lösa problemet är att resonera enligt något av de olika vägar som du har fått tips om här.

-----------

Om du vill ha ytterligare ett sätt att lösa problemet kan du rita ett schema för de olika besökarna, typ enligt följande.

Stor bokstav betyder att personen är på plats, x betyder att personen inte är på plats.

Dag Besökare

1 Axxxxx

2 ABxxxx

3 AxCxxx

4 ABxDxx

5 AxxxEx

6 ABCxxF

7 Axxxxx

8 ABxDxx

9 AxCxxx

10 ABxxEx

11 Axxxxx

12 ABCDxF

och så vidare. Vid vilken dag är alla 6 på plats?

Dani163 skrev :
Bubo skrev :
Jämför t.ex. "Varannan dag" och " var sjätte dag". De ses inte var tolfte dag, utan...
Varför är det så?
Förstår fortfarande inte. Han som går varannan dag kan träffa hon som går var 6:e dag på 3:e gymbesöket, eftersom 2+2+2. Han som går var 3:e dag träffar henne på 2:a gymbesöket, han som går varje dag = 6:e gymbesöket, han som går var 4:e dag måste vänta 12 gymbesök eftersom 4+4+4=12 och 6+6 = 12, han som går var 5:e dag måste vänta till 30:e gymbesöket innan han kan träffa hon som går var 6:e dag. Så, vad kan man dra för slutsats eftersom det i facit står 60 dagar? Kan man se att jag påpekar svaret i denna förklaring?

Du krånglar till det för dig. Han som går varannan dag träffar den som går var sjätte dag på den sjätte dagen. Samtidigt träffar de även den som går var tredje dag och den som går varje dag. Alla dessa träffas igen den tolfte dagen, och då är dessutom den som går var fjärde dag på plats. Alla dessa träffas igen på den 24:e dagen, och på den 36:e och på den 48:onde och på den 60:onde, och den gängen är även "femman" på plats.

Yngve skrev :
Dani163 skrev :
Jag fattar inte hur man löser frågan med hjälp av en matematisk formel ...
Varför vill du ha en matematusk formel? Kommer du att då förstå problemet och förstå varför svaret blir som det blir?
Jag tror att ett mycket bättre sätt att lösa problemet är att resonera enligt något av de olika vägar som du har fått tips om här.
-----------
Om du vill ha ytterligare ett sätt att lösa problemet kan du rita ett schema för de olika besökarna, typ enligt följande.
Stor bokstav betyder att personen är på plats, x betyder att personen inte är på plats.
Dag Besökare
1 Axxxxx
2 ABxxxx
3 AxCxxx
4 ABxDxx
5 AxxxEx
6 ABCxxF
7 Axxxxx
8 ABxDxx
9 AxCxxx
10 ABxxEx
11 Axxxxx
12 ABCDxF
och så vidare. Vid vilken dag är alla 6 på plats?

Okej nu förstod jag lite bättre men det var så jag tänkte att man skulle multiplicera för att hitta (MGM) till summan av produkterna A*B*C*D*E*F vilket var 720, för som det stod i facit var det under 60:e dagen som de träffas tillsammans och om jag ska lösa en sådan fråga på ett prov kan din lösning ta tid vilket är därför jag försöker lösa med någon formel som finns. Att svaret är 60 är ganska logiskt eftersom 4*15 är 60 vilket innebär att den som går var 4:e dag kan träffas upp med han som går var 5:e under den dagen.

Problemet är ekvivalent med att hitta minsta gemensamma nämnare (MGN) till bråken eller minsta gemensamma multipel (MGM) av talen 1,2,3,4,5 och 6.

I kursen bör du ha läst om hur man gör för att finna detta tal med hjälp av primtalsfaktorisering.

Det finns också beskrivet under rubriken "Minsta gemensamma multipel (MGM)" här --> https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/primtal

I den här uppgiften är det viktigt att du förstår varför talet som söks är MGM(1,2,3,4,5,6). Men än viktigare är att du behärskar en strukturerad metod för att hitta minsta gemensamma multipel (MGM(a,b)) av två eller flera tal.

Dani163 skrev :
Okej nu förstod jag lite bättre men det var så jag tänkte att man skulle multiplicera för att hitta (MGM) till summan av produkterna A*B*C*D*E*F vilket var 720 ...

Det stämmer att MGM-metoden ger dig rätt svar.

Men MGM är inte 720 utan 60.

6 = 3*2

5 = 5

4 = 2*2

3 = 3

2 = 2

1 = 1

MGM är alltså 5*3*2*2*1 = 60.

Förklaring:

Du behöver en faktor 5 för att få med talet 5.
Du behöver en faktor 3 för att få med talet 3,
Du behöver 2 faktorer 2 för att få med talet 4.
(Du behöver en faktor 1 för att få med talet 1.)

Eftersom du redan har en faktor 3 och en faktor 2 så har du med talet 6.

Eftersom du redan har med en faktor 2 så har du med talet 2.

Då är alla tal med.

Yngve skrev :
Dani163 skrev :
Okej nu förstod jag lite bättre men det var så jag tänkte att man skulle multiplicera för att hitta (MGM) till summan av produkterna A*B*C*D*E*F vilket var 720, för som det stod i facit var det under 60:e dagen som de träffas tillsammans och om jag ska lösa en sådan fråga på ett prov kan din lösning ta tid vilket är därför jag försöker lösa med någon formel som finns. Att svaret är 60 är ganska logiskt eftersom 4*15 är 60 vilket innebär att den som går var 4:e dag kan träffas upp med han som går var 5:e under den dagen.
Det stämmer att MGM-metoden ger dig rätt svar.
Men MGM är inte 720 utan 60.
6 = 3*2
5 = 5
4 = 2*2
3 = 3
2 = 2
1 = 1
MGM är alltså 5*3*2*2*1 = 60.
Förklaring: Du behöver en faktor 5 för att få med talet 5. Du behöver en faktor 3 för att få med talet 3, du behöver 2 faktorer 2 för att få med talet 4, (du behöver en faktor 1 för att få med talet 1).
Eftersom du redan har en faktor 3 och en faktor 2 så har du med talet 6.
Eftersom du redan har med en faktor 2 så har du med talet 2.

Okej nu förstod jag, men för att förstå varför jag gjorde fel, kan någon förklara varför jag inte skulle multiplicera 6*5*4*3*2*1 för att sedan primtalsfaktorisera det? Primtalsfaktorerna för 720 var 3*3*2*2*2*2*5, och jag vet inte om MGM syns här.

Dani163 skrev :
Okej nu förstod jag, men för att förstå varför jag gjorde fel, kan någon förklara varför jag inte skulle multiplicera 6*5*4*3*2*1 för att sedan primtalsfaktorisera det? Primtalsfaktorerna för 720 var 3*3*2*2*2*2*5, och jag vet inte om MGM syns här.

Nej MGM syns inte där. Den faktoriseringen i sig ger ingen information om vilka faktorer som är överflödiga (dubblerade).

Men du kan utgå från den och leta fram det minsta antal faktorer som behövs för att skapa de ingående talen 2, 3, 4, 5 och 6.

Gör då så här: Gå igenom talen ett i taget och ringa in de faktorer som behövs för att skapa dem. Undvik då att ringa in faktorer i onödan. Jag sätter här faktorerna inom parentes istället för att ringa in:

Utgå från faktorerna 3, 3, 2, 2, 2, 2, 5.

För att skapa talet 2 behöver jag en faktor 2. Då ringar jag in en av tvåorna: 3, 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 3 behöver jag en faktor 3. Då ringar jag in en av treorna: (3), 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 4 behöver jag två faktorer 2. En har jag redan ringat in, så jag behöver en till. Då ringar jag in ytterligare en av tvåorna: (3), 3, (2), (2), 2, 2, 5.
För att skapa talet 5 behöver jag en faktor 5. Då ringar jag in femman: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).
För att skapa talet 6 behöver jag en faktor 2 och en faktor 3. De finns redan inringade, så jag behöver inte lägga till någon mer faktor: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).

Med hjälp av de inringade faktorerna kan jag alltså skapa alla talen 2, 3, 4, 5 och 6. De faktorer som inte är inringade är alltså överflödiga.

MGM är produkten av det minsta antalet nödvändiga faktorerna, dvs 2*2*3*5 = 60.

Yngve skrev :
Dani163 skrev :
Okej nu förstod jag, men för att förstå varför jag gjorde fel, kan någon förklara varför jag inte skulle multiplicera 6*5*4*3*2*1 för att sedan primtalsfaktorisera det? Primtalsfaktorerna för 720 var 3*3*2*2*2*2*5, och jag vet inte om MGM syns här.
Nej MGM syns inte där. Den faktoriseringen i sig ger ingen information om vilka faktorer som är överflödiga (dubblerade).
Men du kan utgå från den och leta fram det minsta antal faktorer som behövs för att skapa de ingående talen 2, 3, 4, 5 och 6.
Gör då så här: Ringa in de faktorer som behövs för att skapa taken och undvik att ringa in faktorer i onödan. Jag sätter hör faktorerna inom parentes istället för att ringa in:
Utgå från faktorerna 3, 3, 2, 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 2 behöver jag en faktor 2. Då ringar jag in en av tvåorna: 3, 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 3 behöver jag en faktor 3. Då ringar jag in en av treorna: (3), 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 4 behöver jag två faktorer 2. En har jag redan ringat in, så jag behöver en till. Då ringar jag in ytterligare en av tvåorna: (3), 3, (2), (2), 2, 2, 5.
För att skapa talet 5 behöver jag en faktor 5. Då ringar jag in femman: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).
För att skapa talet 6 behöver jag en faktor 2 och en faktor 3. De finns redan inringade, så jag behöver inte lägga till någon mer faktor: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).
Med hjälp av de inringade faktorerna kan jag alltså skapa alla talen 2, 3, 4, 5 och 6. De faktorer som inte är inringade är alltså överflödiga.
MGM är produkten av det minsta antalet nödvändiga faktorerna, dvs 2*2*3*5 = 60.

Toppen, jag förstår nu. Så den metoden i mitt senaste svar funkar också eller blir det mer komplicerat på det sättet?

Menar du den som gav svaret 720? Det är fel svar.

Smaragdalena skrev :
Menar du den som gav svaret 720? Det är fel svar.

Jag syftade på metoden, eftersom Yngve förklarade att man kan utgå ifrån att man kan multiplicera alla faktorer med varandra och få 720 för att sedan hitta MGM i primfaktorerna som han gjorde här:

För att skapa talet 2 behöver jag en faktor 2. Då ringar jag in en av tvåorna: 3, 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 3 behöver jag en faktor 3. Då ringar jag in en av treorna: (3), 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 4 behöver jag två faktorer 2. En har jag redan ringat in, så jag behöver en till. Då ringar jag in ytterligare en av tvåorna: (3), 3, (2), (2), 2, 2, 5.
För att skapa talet 5 behöver jag en faktor 5. Då ringar jag in femman: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).
För att skapa talet 6 behöver jag en faktor 2 och en faktor 3. De finns redan inringade, så jag behöver inte lägga till någon mer faktor: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).

Dani163 skrev :
Smaragdalena skrev :
Menar du den som gav svaret 720? Det är fel svar.
Jag syftade på metoden, eftersom Yngve förklarade att man kan utgå ifrån att man kan multiplicera alla faktorer med varandra och få 720 för att sedan hitta MGM i primfaktorerna som han gjorde här:

För att skapa talet 2 behöver jag en faktor 2. Då ringar jag in en av tvåorna: 3, 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 3 behöver jag en faktor 3. Då ringar jag in en av treorna: (3), 3, (2), 2, 2, 2, 5.
För att skapa talet 4 behöver jag två faktorer 2. En har jag redan ringat in, så jag behöver en till. Då ringar jag in ytterligare en av tvåorna: (3), 3, (2), (2), 2, 2, 5.
För att skapa talet 5 behöver jag en faktor 5. Då ringar jag in femman: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).
För att skapa talet 6 behöver jag en faktor 2 och en faktor 3. De finns redan inringade, så jag behöver inte lägga till någon mer faktor: (3), 3, (2), (2), 2, 2, (5).

Ja, den metoden funkar och ja, den metoden blir mer komplicerad.

Samma sätt att tänka fast mindre komplicerat är att gå åt andra hållet.

Gör då så här: Börja med en tom lista på faktorer: "" och lägg till endast de faktorer som behövs för att konstruera alla talen.

För att konstruera talet 2 behöver du en faktor 2. Eftersom det inte redan finns någon sådan faktor i listan så lägger du till det. Listan blir då "2".
För att konstruera talet 3 behöver du en faktor 3. Eftersom det inte redan finns någon sådan faktor i listan så lägger du till det. Listan blir då "2, 3".
För att konstruera talet 4 behöver du två faktorer 2. Eftersom det redan finns en faktor 2 i listan så behöver du bara lägga till en extra.. Listan blir då "2, 2, 3".
För att konstruera talet 5 behöver du en faktor 5. Eftersom det inte redan finns någon sådan faktor i listan så lägger du till det. Listan blir då "2, 2, 3, 5".
För att konstruera talet 6 behöver du en faktor 2 och en faktor 3. Eftersom detta redan finns i listan så behöver du inte lägga till något mer. Listan blir då "2, 2, 3, 5".

Med hjälp av dessa faktorer så kan du alltså konstruera alla talen. Eftersom du har skapat listan utan att lägga till onödiga faktorer så är MGM = 2*2*3*5 = 60.