Talteori Hensel's lemma

Hej,

Hade velat lösa $(x^2-1)^2(x^2+1)\equiv 0 mod 81$. Mitt försök:

Börjar med att $81=3^4$ så kan nu kolla på $ (x^2-1)^2(x^2+1)\equiv 0 mod 3$

Sen $f(x)=(x^2-1)^2(x^2+1)=x^6-x^4-x^2+1$, $f'(x)=6x^5-4x^3-2x$. Ser dessutom att $r=1$ & $r=2$ är lösningar. 

Så kollar $f(1)=0$, $f'(1)=0$, $f(2)=45$ & $f'(2)=156$ och nu använder jag mig av Hensel's lemma:

För $r=2$ så är $f'(r)\equiv 0mod3$ och $f(r)\equiv 0mod3$ så den ger ingen lösning.

För $r=1$ så är $f(r) \equiv 0 mod 3$ & $f'(r)\equiv 0 mod3$ så får $f(1 + 1\cdot 3)\equiv 0 mod3^2$ eller $f(1 + 2\cdot 3)\equiv 0 mod3^2$  

Så får $f(4)\equiv 0 mod 9$ och $f'(4) \not\equiv 0 mod 9$ nu vill jag höja till $3^3$ sen $3^4$ men det är här jag fastnar och inte vet hur man fortsätter