Talteori (delbarhet) , sista frågan i ett arbetshäfte

Om du har hittat ett mönster kanske det går att bevisa.

Eller, vad gäller för var och en av termerna, vilken rest blir det när man delar med 5?

Dela upp problemet i fem fall

Om $m\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$ så finns inga möjligheter eftersom $0^7\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$ och $3^m$ lämnar aldrig resten 0 mod 5.

Om $m\equiv 1\ (\text{mod}\ 5)$ så är $m^7\equiv 1\ (\text{mod}\ 5)$ och $3^m$ måste uppfylla $3^m\equiv 4\ (\text{mod}\ 5)$. De två villkoren kan t.ex. betraktas som en diofantisk ekvation med lösningar då $m=6+20k,\, k\in \{0,1,2,3...\}$

Sedan är det bara att tugga vidare på tre fall till.

Laguna skrev:

Om du har hittat ett mönster kanske det går att bevisa.

Eller, vad gäller för var och en av termerna, vilken rest blir det när man delar med 5?

Testade med 1,2,3 och fick fram några tal och såg om det var delbart.

Vet ju från Matteboken 
delbarhet med 5 gäller Talets slutsiffra är 0 eller 5.
25, då slutsiffran är 5
m=1 blev ju

1+3 = 4 ej delbart

m=2 blev ju 

146 som ej är delbart med 5

m=3 blev ju 

2214 som också inte är delbart med 5 så fick ju aldrig riktig något tal som är delbart med 5

Nils123 skrev:

2214 som också inte är delbart med 5 så fick ju aldrig riktig något tal som är delbart med 5

Vad tror du om att testa talen m = 4,6,7,13,24,26,27,33,44 osv?

Jroth skrev:

Dela upp problemet i fem fall

Om $m\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$ så finns inga möjligheter eftersom $0^7\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$ och $3^m$ lämnar aldrig resten 0 mod 5.

Om $m\equiv 1\ (\text{mod}\ 5)$ så är $m^7\equiv 1\ (\text{mod}\ 5)$ och $3^m$ måste uppfylla $3^m\equiv 4\ (\text{mod}\ 5)$. De två villkoren kan t.ex. betraktas som en diofantisk ekvation med lösningar då $m=6+20k,\, k\in \{0,1,2,3...\}$

Sedan är det bara att tugga vidare på tre fall till.

hmmm är lite osäker på vad du menar...

Du kanske kan ge mig lite ledtrådar om vad du inte förstår?

Är du t.ex. med på att då m är delbart med 5 så är det samma sak som att säga $m\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$?

Är du med på att det finns en regel som säger att $a^k\equiv b^k\ (\text{mod}\ 5)$ om $a\equiv b\ (\text{mod}\ 5)$?

Jroth skrev:

Du kanske kan ge mig lite ledtrådar om vad du inte förstår?

Är du t.ex. med på att då m är delbart med 5 så är det samma sak som att säga $m\equiv 0\ (\text{mod}\ 5)$?

Är du med på att det finns en regel som säger att $a^k\equiv b^k\ (\text{mod}\ 5)$ om $a\equiv b\ (\text{mod}\ 5)$?

Satt och funderade på det men vet inte hur du menar att du betraktar de som en diofantisk ekvation. Vet hur en diofantiskt ekvation ser ut men forstår inte hur den kan formuleras här. Sedan hur du fick fram 6+20k, k∈{0,1,2,3...}

$3^m$ har resterna 1,3,4,2 mod 5 när m = 0,1,2,3.

$m^7$ har resterna 0,1,3,2,4 när m = 0,1,2,3,4.

Den ena sekvensen har period fyra:

1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2

Den andra har perioden fem:

0 1 3 2 4 0 1 3 2 4 0 1 3 2 4 0 1 3 2 4

Velande skrev:

Satt och funderade på det men vet inte hur du menar att du betraktar de som en diofantisk ekvation. Vet hur en diofantiskt ekvation ser ut men forstår inte hur den kan formuleras här. Sedan hur du fick fram 6+20k, k∈{0,1,2,3...}

Vi tar nästa fall i mer detalj.

$m\equiv 2 (\text{mod}\ 5)\Rightarrow m=2+5p$

$2^7\equiv 3 \Rightarrow 3^m\equiv 2 (\text{mod}\ 5)\Rightarrow m=\mathbf{3}+4q$

Om du har svårt att lösa $3^m\equiv 2 (\text{mod}\ 5)$ använd att $3^m$  endast ger resterna 3,4,2,1 med perioden 4.  När resten ska vara 2 måste du starta på m=3 (fetmarkerad ovan) och lägga till 4q. Slutligen m=m ger en diofantisk ekvation

$2+5p=3+4q \Rightarrow p=1+4k \Rightarrow m=2+5(1+4k)=7+20k$

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Sammanfattningsvis, de fyra fallen

$\boxed{m=4+k\cdot20\\m=6+k\cdot20\\m=7+k\cdot20\\m=13+k\cdot20}$