Talteori

Visa att p² − 1 är delbart med 24 om p är ett primtal större än 3.

Hur ska man tänka?

Koizenu skrev:
Visa att p² − 1 är delbart med 24 om p är ett primtal större än 3.

Hur ska man tänka?

Notera att $p^2 -1 = (p-1)(p+1)$ . Vad kan vi säga om $p-1$ och $p+1$ om $p>3$ ?

Rätt så stor ledtråd

Alla primtal som är större än 3 kan skrivas på formen $6k+1$ eller $6k+5$ .

Anledning:
Alla tal kan skrivas på formen $6k+r$ där $r$ är antingen 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 och $k$ är ett heltal
Om vi har ett tal på formen $6k$ är det delbart med 6, inte primtal.
Tal på formen $6k+2$ eller $6k+4$ är jämna eftersom vi kan faktorisera ut 2. Inte primtal.
Tal på formen $6k+3$ är delbara med 3. De är inte primtal om $k > 0$ . Om $k=0$ blir det primtalet 3.
Det lämnar bara $6k+1$ och $6k+5$ .

Variant:

p²-1 = (p-1)(p+1)

p-1 och p+1 ör två på varandra följande jämna tal.
Vartannat jämnt tal är också delbart med 4.

Resonera sedan kring följden p-1, p och p+1.

Visa spoiler

Något av dem måste vara delbart med 3 och det kan inte vara p.

Svara