talteori 2
Ett tal i bas 10 är delbart med tre om siffersumman är delbar med tre.
Gäller denna regel även andra talbaser?
Motivera.
Svar: Regeln gäller bara de baser n
där n ≡ 1 (mod 3), t ex 4, 7, 10,
13 osv.
Hur kom de fram till att vi ska ha n≡ 1 (mod 3)? för jag hade tänkt att det ska istället vara n≡ 0 (mod 3)? då den är ju delbar?
Hmm, en sak är att visa att regeln gäller för baserna 4, 7, 10, …
En annan att visa att den inte gäller för några andra. Vi får prova:
Antag att talet A = abcd…jk är skrivet i basen n. Då är
A = a nm + b nm–1 + c nm–2 + … + j n1 + k n0 för något m.
Siffersumman är a+b+c+…+j+k
Antag att n = 1 [mod 3], dvs n = 3q +1 för något q
Då är
A = a (3q+1)m + b (3q+1)m–1 + … + j (3q+1)1 + k
Nu skriver jag A i bas tre:
A = a 1m + b 1m–1 + … + j 11 + k = a+b+c+…+j+k
Så OM n har resten 1 vid division med 3 SÅ
A delbart med 3 < = > siffersumman delbar med 3.
Men det återstår att visa att OM n har resten 0 eller 2 vid division med 3 SÅ gäller regeln inte. Det känns svårare, men kanske du kan prova på egen hand.
Granska också mitt bevis, jag är inte helt säker på att det håller, men tror det.
finns det inget annat sätt, denna var för svår
Det kanske finns andra sätt, men jag vet inget lättare. Vad som kan vara svårt är att jag byter talbas. Troligen är det ett annat kapitel, men det är ett ganska fyndigt sätt ibland.
För att förenkla litet. Tänk dig det femsiffriga talet abcde i vanlig tiobas. Detta är alltså
10000a+1000b+100c+10d+e som kan skrivas
9999a + a + 999b +b +99c +c + 9d +d + e
du ser att 9999a+999b+99c+9d är delbart med 3.
Kvar är a+b+c+d+e. Om och endast om det är delbart med 3 så är hela talet delbart med 3.
jag kan ju bara tänka att 10(mod3) ger rest 1, så därför får vi att n(kongruet med) (mod 3) ?
