Talteori

Har du lösningen till uppgiften, eller behöver du hjälp? I det andra fallet bör du flytta tråden till lämplig nivå, eftersom Kluringar bara är till för uppgifter av det första slaget. /moderator

Jag har lösningen ja.

En korrigering dock, X är summan av två OLIKA tvåpotenser och summan av två OLIKA Mersenneprimtal.

Låt $X=2^a+2^b=2^m-1+2^n-1$, där $a>b$ och $m>n$. Notera också att ifall $2^m-1$ och $2^n-1$ skall vara primtal måste $m$ och $n$ vara primtal, ty ifall det skulle finnas delare $d_1$ och $d_2$ ej lika med $1$ sådana att $d_1\cdot d_2=m$ så är ju $2^m-1=2^{d_1d_2}-1=(2^{d_1})^{d_2}-1=(2^{d_1}-1)((2^{d_1})^{d_2-1}+(2^{d_1})^{d_2-2}+...+(2^{d_1})^1+1)$ enligt den generaliserade konjugatregeln.

Därvid är $m>n\geq2$, och skriver vi $2^a+2^b+2=2^m+2^n$ inses att högerledet är delbart med fyra. Ifall $b\geq2$ blir $a>2$ och vänsterledet kongruent med $2$ modulo $4$. Därför måste vi ha $b=0$ eller $b=1$. $b=0$ kan direkt uteslutas, eftersom i sådant fall blir $2^a$ jämnt medan $2^b$ blir udda, vilket är omöjligt eftersom $2^a+2^b+2$ skall vara delbart med fyra. Vi måste alltså ha $b=1$.

Vi kan då skriva $2^a+4=2^m+2^n$, och eftersom $m>n\geq2$ är $2^m+2^n>2^2+2^2=8$. Detta ger att $2^a+4>8\iff a>2$.

Dividerar vi båda led med fyra fås nu $2^{a-2}+1=2^{m-2}+2^{n-2}$. Eftersom $a>2$ och $m>2$ blir $2^{a-2}$ och $2^{m-2}$ jämna. Det följer då att $2^{n-2}$ måste vara udda, d.v.s. $2^{n-2}=1\iff n=2$.

Nu inser vi att $X=2^m-1+2^n-1=2^m+2$. Eftersom $m>2$ är ett primtal måste det vara udda, det vill säga $m=2k+1$. Detta ger till sist

$X=2^{2k+1}+2=2\cdot2^{2k}+2=2^{2k}+2^{2k}+2+2^k-2^k=2^{2k}+2^k+1+2^{2k}-2^k+1=(2^k+1)^2+(2^k-1)^2$.