Talföljd + bevis

Jag tittade en stund på induktionsbevis. Det kanske går, men här tror jag det är enklare utan:

S_n = S_n–1S_n–2…S₀ + 1

S_n+1 = S_nS_n–1…S₀ +1 = S_n(S_n–1…S₀ +1 –1) +1 =

= S_n(S_n–1) + 1 = S_n² –S_n +1 

Nu visade jag det för n+1 i stället för n, men det kan du lätt ändra. 

OBS! Detta kan se ut som ett induktionsbevis, men det är det inte. Jag har inget induktionsantagande utan går direkt på definitionen.

Mogens skrev:

Jag tittade en stund på induktionsbevis. Det kanske går, men här tror jag det är enklare utan:

S_n = S_n–1S_n–2…S₀ + 1

S_n+1 = S_nS_n–1…S₀ +1 = S_n(S_n–1…S₀ +1 –1) +1 =

= S_n(S_n–1) + 1 = S_n² –S_n +1 

Nu visade jag det för n+1 i stället för n, men det kan du lätt ändra. 

OBS! Detta kan se ut som ett induktionsbevis, men det är det inte. Jag har inget induktionsantagande utan går direkt på definitionen.

Ok, tack! Jag förstår fram tills att du ska lägga in n+1 efter det andra likhetstecknet. Vart kommer -1 ifrån? Och nu blev det två +1? Hur är det möjligt att bryta ut S_n på det viset? 

Orkar inte skriva index.

S(n+1)  = S(n)*S(n–1)*…*S(0) +1

Den första termen i högerledet är en produkt. Det handlar inte om att ”bryta ut”

S(n+1)  = S(n)* [S(n–1)*…*S(0)] +1

Nu tar jag uttrycket innanför klammerparentesen [, jag lägger till 1 och drar bort 1.

S(n+1)  = S(n)* [S(n–1)*…*S(0) +1–1] +1

Det jag markerat med fetstil är S(n) enligt definition

Mogens skrev:

Jag tittade en stund på induktionsbevis. Det kanske går, men här tror jag det är enklare utan:

S_n = S_n–1S_n–2…S₀ + 1

S_n+1 = S_nS_n–1…S₀ +1 = S_n(S_n–1…S₀ +1 –1) +1 =

= S_n(S_n–1) + 1 = S_n² –S_n +1 

Nu visade jag det för n+1 i stället för n, men det kan du lätt ändra. 

OBS! Detta kan se ut som ett induktionsbevis, men det är det inte. Jag har inget induktionsantagande utan går direkt på definitionen.

Är det meningen att beviset ska göras med n eller n+1? För du har gjort n+1 och jag har inte riktigt koll på hur jag skulle ändra det. Förstår det andra du beskrev nu.

Mitt bevis blev oekonomiskt. Det berodde på att jag började med ett induktionsbevis för ögonen men sedan märkte att det var onödigt.  Om du minskar index ett steg:

VL =

Sn = <def> =  S(n–1)S(n–2)…S(0) +1 = <def av S(n–1)> =

= S(n–1)[S(n–2)…S(0) +1 –1] +1 =

= S(n–1)[S(n–1)–1] + 1 = (Sn–1)^2 –S(n–1) +1 = HL

Mogens skrev:

Mitt bevis blev oekonomiskt. Det berodde på att jag började med ett induktionsbevis för ögonen men sedan märkte att det var onödigt.  Om du minskar index ett steg:

VL =

Sn = <def> =  S(n–1)S(n–2)…S(0) +1 = <def av S(n–1)> =

= S(n–1)[S(n–2)…S(0) +1 –1] +1 =

= S(n–1)[S(n–1)–1] + 1 = (Sn–1)^2 –S(n–1) +1 = HL

Jag ber om ursäkt för att jag inte riktigt hänger med men hur blir S_n-2....S₀+1=S_n-1?

I problemet har vi definitionen av Sylvesterföljd

Sn = Sn-1* Sn−2... * S1* S0+ 1

Om vi låter m = n+1 så är n = m–1 som vi sätter in i formeln

Sm–1 = Sm-2* Sm−3... * S1* S0+ 1

och vilken bokstav vi har, m eller n, spelar ju ingen roll.

OK? (Säg till annars för det är viktigt!)

Mogens skrev:

I problemet har vi definitionen av Sylvesterföljd

 

Sn = Sn-1* Sn−2... * S1* S0+ 1

Om vi låter m = n+1 så är n = m–1 som vi sätter in i formeln

Sm–1 = Sm-2* Sm−3... * S1* S0+ 1

och vilken bokstav vi har, m eller n, spelar ju ingen roll.

OK? (Säg till annars för det är viktigt!)

Okej. Jag tror fortfarande inte riktigt att jag fattar. Varför valde du att sätta n=m-1? Vad har detta för betydelse?

Nej, det har ingen betydelse. Jag tänkte bara att det var där du fastnade. Men vi skippar m.

Tänk så här:

S(n) = S(n–1) S(n–2) … S(1) S(0) + 1

Vad står det? Jo, att

Nästa term = produkten av tidigare termer + 1

Men det funkar ju lika bra för S(n–1)

S(n–1) = S(n–2) … S(1) S(0) +1

Mogens skrev:

Nej, det har ingen betydelse. Jag tänkte bara att det var där du fastnade. Men vi skippar m.

 

Tänk så här:

S(n) = S(n–1) S(n–2) … S(1) S(0) + 1

Vad står det? Jo, att

Nästa term = produkten av tidigare termer + 1

Men det funkar ju lika bra för S(n–1)

S(n–1) = S(n–2) … S(1) S(0) +1

Tack nu släppte det!