18 svar

1031 visningar

talföljd

Talföljden a_1,a_2,.... är definierad med rekursion enligt följande:

a₁=1, a₂=4, an+1=3a_n+4a_n-1, för n $\geq 2$ .

Gissa en icke-rekursiv form för och bevisa den sedan med induktion.

jag kan inte komma igång med denna uppgift. skulle uppskatta lite hjälp :)

Börja med att beräkna åtminstone ett halvdussin termer i talföljden.

Jag föreslår att du beräknar en bagares dussin termer för att se ett mönster.

jag förstår inte!

om ni menar att jag ska räkna de 12 värden a så vet jag inte vad det är för typ av talföljd. är det en fibonacci talföljd eller vad det kallas?

Talföljden är definierad i uppgiften. Det är inte en Fibonacciföljd men är uppbyggd på ett liknande sätt.

jag vet att a₁=1,a₂=4, a₃=5, a₄=9, a₅= 14 och a₆=23

vad gör man sen? hur ska man kunna gissa en icke-rekursiv formel?

Nu går det lite för fort.

$a_3=3a_2+4a_1=3\cdot4+4\cdot1=12+4=16$

Vad blir $a_4$ och $a_5$ ?

AlvinB skrev:
Nu går det lite för fort.
$a_3=3a_2+4a_1=3\cdot4+4\cdot1=12+4=16$
Vad blir $a_4$ och $a_5$ ?

a₄=64

a₅=256

stämmer det?

Ja. Kan du se ett mönster?

Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?

kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?

be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?

Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?
Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.

$a_{n} = a_{1} \times k^{n - 1}$

kan man använda den här formel som en allmän formel?

be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?
Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.
$a_{n} = a_{1} \times k^{n - 1}$
kan man använda den här formel som en allmän formel?

Ja, och du vet t o m värdet på k.

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?
Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.
$a_{n} = a_{1} \times k^{n - 1}$
kan man använda den här formel som en allmän formel?
Ja, och du vet t o m värdet på k.

hur visar jag det med induktionsbevis? jag har svårt att förstå den

be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?
Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.
$a_{n} = a_{1} \times k^{n - 1}$
kan man använda den här formel som en allmän formel?
Ja, och du vet t o m värdet på k.
hur visar jag det med induktionsbevis? jag har svårt att förstå den

Du kan läsa här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
be5612 skrev:
Laguna skrev:
Ja. Kan du se ett mönster?
kvoten blir alltid 4. alltså det är en geometrisk talföljd?
Ja, det är så det ser ut (och det är så också). Du kan alltså ange en formel för a_n. Och nu ska du bevisa att detta är sant för alla n, med hjälp av induktion.
$a_{n} = a_{1} \times k^{n - 1}$
kan man använda den här formel som en allmän formel?
Ja, och du vet t o m värdet på k.
hur visar jag det med induktionsbevis? jag har svårt att förstå den
Du kan läsa här: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-5/talfoljder-och-induktionsbevis/induktionsbevis

1+4+16+64+.......+?= $n k^{n - 1}$

jag förstår inte vad jag ska skriva där ? är. jag kan inte skriva n för att då $V L_{p + 1} ä r i n t e l i k a m e d H L_{p + 1}$

jag tar 1+4+16+..... $n k^{n - 1} = \frac{n (k^{n} - 1)}{(k - 1)}$

induktionsbas: VL=1 HL alltså VL=HL

induktionsantagande: n=p

1+4+16+.....+ $p k^{p - 1} = \frac{p (k^{p} - 1)}{k - 1}$

induktionssteget: n=p+1

$V L_{p + 1}$ = $1 + 4 + 16 + . . . . + p k^{p - 1} + (p + 1) k^{p} = \frac{p (k^{p} - 1)}{k - 1} + (p + 1) k^{p}$

= $\frac{- p + p k^{p + 1} + k^{p + 1} - k^{p}}{k - 1}$

$H L_{p + 1} = \frac{(p + 1) (k^{p + 1} - 1)}{k - 1} = \frac{- p + p k^{p + 1} + k^{p + 1} - 1}{k - 1}$

vad gör jag för fel?

be5612 skrev:
jag tar 1+4+16+..... $n k^{n - 1} = \frac{n (k^{n} - 1)}{(k - 1)}$
induktionsbas: VL=1 HL alltså VL=HL
induktionsantagande: n=p
1+4+16+.....+ $p k^{p - 1} = \frac{p (k^{p} - 1)}{k - 1}$
induktionssteget: n=p+1
$V L_{p + 1}$ = $1 + 4 + 16 + . . . . + p k^{p - 1} + (p + 1) k^{p} = \frac{p (k^{p} - 1)}{k - 1} + (p + 1) k^{p}$
= $\frac{- p + p k^{p + 1} + k^{p + 1} - k^{p}}{k - 1}$
$H L_{p + 1} = \frac{(p + 1) (k^{p + 1} - 1)}{k - 1} = \frac{- p + p k^{p + 1} + k^{p + 1} - 1}{k - 1}$
vad gör jag för fel?

Du ska inte bilda summan. Du ska bara bevisa den formel du har fått fram för a_n.

Svara

Visa senaste svar