Talet a

eftersom din integral innehåller $dx$ ska du integrera med avseende på x, inte på a.

Om du gör det kommer du få ut en funktion f(a) som inte innehåller något x. Funktionen får du använda för att hitta det a som ger största möjliga värde på funktionen.

a är en konstant, inte en variabel. Integreringen ska göras med avseende på x, inte på a. Gör om integreringen, och sätt in värdena på x i uttrycket. Då får du en funktion av a, vars värde du kan maximera.

Okej, testar igen :) ${\int }_0^1\left(a^3{x}^2- 2a^{2}x- 3a\right)dx {\left[a^3 * \frac{x^3}{3} - 2a^2 *\frac{x^2}{2}- 3a\right]}_0^1$

Sådär då?

Ja, sen måste du sätta in gränsvärderna i det sista uttrycket så att du får bort x

$\left(a^3 * \frac{1^3}{3} - 2a^2 * \frac{1^2}{2} - 3a\right) - \left(a^3 * \frac{0^3}{3} - 2a^2 * \frac{0^2}{2}- 3a \right)$

Ett litet slarvfel bara, uttrycket ska se ut såhär:

$[a^3*\frac{x^3}{3} - 2a^2 *\frac{x^2}{2}- 3ax{]}_0^1$

Räkna ut det som du gjorde innan och förenkla så långt det går. Tänk sedan ut vilket värde på a som ger uttrycket så stort värde som möjligt

Hittar inte vart det sista x:et kom ifrån?

$$\begin{gathered} \left(a^3 * \frac{1^3}{3} - 2a^2 * \frac{1^2}{2}- 3a \right) - \left(a^3 * \frac{0^3}{3} - 2a^2 * \frac{0^2}{2}- 3a \right) \\ \left(a^3 * \frac{1}{3} - 2a^2 * \frac{1}{2} -3a\right) - \left(a^3 * 0 - 2a^2 * 0 -3a\right) \end{gathered}$$

När du tar fram primitiv funktion måste du alltid lägga till ett x till alla konstanter. När det står 3a står det egentligen

$3a = 3a*x^0$

När du tar fram primitiv funktion höjer du graden med 1 på alla x-termer, alltså

$3a*x^1$

Okej, de måste jag ha missat!

$$\begin{gathered} \left(a^3 * \frac{1^3}{3} - 2a^2 * \frac{1^2}{2}- 3a*1 \right) - \left(a^3 * \frac{0^3}{3} - 2a^2 * \frac{0^2}{2}- 3a* 0\right) \\ \left(a^3 * \frac{1}{3} - 2a^2 * \frac{1}{2} - 3a\right) -\left(a^3 * 0 - 2a^2 * 0 -3a * 0\right) \end{gathered}$$

Precis, det där uttrycket kan förenklas:

$$\begin{gathered} f\left(a\right) =\hspace{0.17em}(\frac{a^3}{3}-\frac{2a^2}{2}-3a)-(a^3*0-2a^2*0-3a*0) \\ = (\frac{a^3}{3}-a^2-3a) \end{gathered}$$

Vet du hur man gör för att hitta största värde för en funktion inom ett intervall?

Du tappa mig lite där gick vi från det jag skrev senast till det du skrev nu bara sådär?

Det jag gjorde var att ta ditt uttryck och förenkla det.

Alla termer som multipliceras med 0 är lika med 0 och kan strykas

$a^3*\frac{1}{3}=\frac{a^3}{3}$

$2a^2*\frac{1}{2}=\frac{2a^2}{2}=a^2$

Jag tog sedan uttrycket och satte det till en funktion f(a).

Ja va dum jag är! För att hitta störstavärde ska jag väl derivera?

$$\begin{gathered} f\left(a\right) = \frac{a^3}{3} - a^2 -3a \\ f´\left(a\right)= \frac{3a^2}{3} - 2a -3 \end{gathered}$$

Ja, sätt sedan $f\text{'}\left(a\right) = 0$ och lös för att få fram var din funktion har sina extrempunkter.

Vilka av dessa extrempunkter ligger i det tillåtna intervallet för a?

$$\begin{gathered} \frac{3a^2}{3} -2a-3 = 0 \\ {a}^2 - 2a -3 = 0 \\ a = 1\pm \sqrt{1^2 + 3} \\ a = 1 \pm \sqrt{4} \\ a = 1\pm 2 \\ {a}_1 = 3 \\ {a}_2 = -1 \end{gathered}$$

Ja, nu måste du bestämma vilka typer av extrempunkter dessa är, antingen med teckenstudie eller andraderivata.

Det enklaste sätter är att använda andraderivata:

Andraderivatan $f\text{'}\text{'}\left(a\right)$ är samma sak som derivatan till $f\text{'}\left(a\right)$.

Stoppa in extrempunkterna (a = 3 och a = -1) i andraderivatan $f\text{'}\text{'}\left(a\right)$

om $f\text{'}\text{'}\left(a\right) > 0$ är det en minimipunkt

om $f\text{'}\text{'}\left(a\right) < 0$ är det en maximipunkt

om $f\text{'}\text{'}\left(a\right) =0$ är det ingetdera

$$\begin{gathered} f´´\left(a\right) = \frac{6a}{3} - 2 \\ f´´\left(3\right) = \frac{6*3}{3} - 2 \\ f´´\left(3\right) = \frac{18}{3} - 2 \\ f´´\left(3\right) = 6-2 = 4 \\ f´´\left(3\right) är en minimipunkt. \\ f´´(-1) = \frac{6* (-1)}{3} - 2 \\ f´´(-1) = \frac{-6}{3} - 2 \\ f´´(-1) = -2-2 = -4 \\ f´´(-1) är en maximipunkt \end{gathered}$$

Bra, och eftersom när du har $a=-1$ så har du en maximipunkt så innebär det att det är den punkt med högst funktionsvärde i hela intevallet: $-\infty <a\le a_1$

Därför är det också den punkt som har högst funktionsvärde i hela intervallet

$-3 \le a\le 3$

Alltså blir svaret till uppgiften: a=-1

:)

Tack så mycket! Trodde jag skulle få räkna hela natten där ett tag :) Du är jätte duktig på att förklara :))