Tal och beräkningar

Rita ett träddiagram!

Arktos skrev:

Rita ett träddiagram!

Träddiagram????

För att komma på hur du kan tänka föreslår jag det enklare problemet med de tre siffrorna 1, 2 och 3. 

1. Hur många tresiffriga tal kan du bilda med dessa, där varje siffra bara får förekomma en gång i varje tal; talet 112 är inte tillåtet och ej heller talet 333, men däremot talet 213.
2. Vilken är summan av dessa tresiffriga tal?

Får jag fråga om svaret verkligen är 66 600? När jag gör några snabba beräkningar får jag svaret till 66 660 (men jag kan ha räknat fel någonstans). :)

Albiki skrev:

För att komma på hur du kan tänka föreslår jag det enklare problemet med de tre siffrorna 1, 2 och 3. 

1. Hur många tresiffriga tal kan du bilda med dessa, där varje siffra bara får förekomma en gång i varje tal; talet 112 är inte tillåtet och ej heller talet 333, men däremot talet 213.
2. Vilken är summan av dessa tresiffriga tal?

123, 213, 312, 132, 231, 321

Summan av de är 1332. 

pepparkvarn skrev:

Får jag fråga om svaret verkligen är 66 600? När jag gör några snabba beräkningar får jag svaret till 66 660 (men jag kan ha räknat fel någonstans). :)

Oj, förlåt. Typiskt mig att göra slarvfel. Svaret är 66 660 som du fått det till :)  

Ingen fara, sådant händer! Min metod är följande: alla dina tal kan skrivas på formen $xyzw$, där x, y, z och w är enskilda siffror. Om vi tittar på slutsiffran, låt säga att den är ett. Då finns det sex olika tal som har slutsiffran ett:

• 2341
• 3421
• 4231
• 4321
• 2431
• 3241

Detta gäller även om slutsiffran är två, tre och fyra. Vi kommer alltså att ha en entals-kolumn som består av sex stycken ettor, sex stycken tvåor, sex treor och sex fyror. Hur kommer tiotals-kolumnen se ut? Hur ser hundratals-kolumnen ut? Tusentals-kolumnen? :)

pepparkvarn skrev:

Ingen fara, sådant händer! Min metod är följande: alla dina tal kan skrivas på formen $xyzw$, där x, y, z och w är enskilda siffror. Om vi tittar på slutsiffran, låt säga att den är ett. Då finns det sex olika tal som har slutsiffran ett:

• 2341
• 3421
• 4231
• 4321
• 2431
• 3241

Detta gäller även om slutsiffran är två, tre och fyra. Vi kommer alltså att ha en entals-kolumn som består av sex stycken ettor, sex stycken tvåor, sex treor och sex fyror. Hur kommer tiotals-kolumnen se ut? Hur ser hundratals-kolumnen ut? Tusentals-kolumnen? :)

Det kommer väl även vara sex, eller?

Bingo! Då kan du ställa upp en beräkning för att hitta summan. Det går att göra "manuellt", men det är lättare att summera varje kolumn för sig, och beräkna summan av dem istället. 

pepparkvarn skrev:

Bingo! Då kan du ställa upp en beräkning för att hitta summan. Det går att göra "manuellt", men det är lättare att summera varje kolumn för sig, och beräkna summan av dem istället. 

Spoiler alert!

$\begin{array}{cccccc}& & & & & \\ & 6& 0& 0& 0& 0\\ & 0& 6& 0& 0& 0\\ & 0& 0& 6& 0& 0\end{array}+\begin{array}{cccccc}& 0& 0& 0& 6& 0\end{array}?$

Tack så mycket, men finns det en metod som går snabbare 

Summera varje kolumn (summan av siffrorna blir 60). Sedan beräknar du summan av kolumnerna:

$\begin{array}{cccccc}& 6& 0& 0& 0& 0\\ & 0& 6& 0& 0& 0\\ & 0& 0& 6& 0& 0\\ \underline{+}& \underline{0}& \underline{0}& \underline{0}& \underline{6}& \underline{0}\\ & & & & & \end{array}$

pepparkvarn skrev:

Summera varje kolumn (summan av siffrorna blir 60). Sedan beräknar du summan av kolumnerna:

$\begin{array}{cccccc}& 6& 0& 0& 0& 0\\ & 0& 6& 0& 0& 0\\ & 0& 0& 6& 0& 0\\ \underline{+}& \underline{0}& \underline{0}& \underline{0}& \underline{6}& \underline{0}\\ & & & & & \end{array}$

Ska jag alltså göra en kolumn av dessa siffror; 2341, 3421, 4231, 2431, 3241 och stapla de efter ental, tiotal, hundratal och tusental för att sedan addera dem.

Nej, det kommer att ta en evighet. Notera istället att varje kolumn har samma uppsättning siffror. Varje kolumn innehåller siffrorna 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Summan av dessa tal är 60. Entalskolumnen har alltså värdet 60. Tiotalskolumnen kommer att ha värdet 60 * 10 = 600. Hundratalskolumnen har värdet 60 * 100 = 6000, osv. Vad blir den totala summan?

pepparkvarn skrev:

Nej, det kommer att ta en evighet. Notera istället att varje kolumn har samma uppsättning siffror. Varje kolumn innehåller siffrorna 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4. Summan av dessa tal är 60. Entalskolumnen har alltså värdet 60. Tiotalskolumnen kommer att ha värdet 60 * 10 = 600. Hundratalskolumnen har värdet 60 * 100 = 6000, osv. Vad blir den totala summan?

6000 multiplicerat med 1000 blir 60 000, så 6000 + 60 000 + 600 + 60 = 66 600

Tack så mycket för hjälpen!

Varsågod! :)