Ta reda på tillstånd

Jag behöver lite hjälp med en fråga jag fastnat med. Den lyder:

"A hydrogen atom state is described by the wavefunction:

$\Psi(r,\theta,\phi)=N(\dfrac{r}{a_0})e^{-r/(2a_0)}sin(\theta)e^{-i\phi}$, where $a_0$ is the Bohr radius.

a) Determine the normalization constant N.

b) Calculate explicitly the expectation value $E=\int( \Psi^*\hat{H}\Psi )d\vec{r}$.

Which value of the quantum number $n$ does this correspond to?"

Min lösning är således:

a) så ställer jag upp trippelintegralen $\int_0^{2pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\infty}|N|^2\dfrac{r^4}{a_0^2}e^{-r/a_0}sin^3(\theta)dr d\theta d\phi=1$ vilket ger en normaliseringskonstant $N=\dfrac{1}{8\sqrt{a_0^3\pi}}$.

b) Nu vet jag att jag kan skriva $\Psi(r,\theta,\phi)=\dfrac{1}{8a_0\sqrt{a_0^3\pi}}re^{-r/(2a_0)}sin(\theta)e^{-i\phi}$.

Jag ska även beräkna det förväntade värdet. Jag gör det genom $<\psi|\hat{h}|\psi>$ där hamiltonianen ges av $\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}r+\dfrac{L^2}{2mr^2}+\dfrac{-e^2}{4\pi\epsilon_0r}$. Det jag har svårt för är just första termen i hamiltonianen. Alltså, att beräkna $<\psi|-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}r|\psi="">$.

Eftersom den innehåller en derivata m.a.p. r så kan jag inte ändra just platsen på $r$ i integralen (förutom Jacobianen $r^2sin(\theta)$som inte skall ingå i derivering). Alltså får jag:

$\dfrac{-\hbar^2}{128m\pi a_0^5}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}(re^{-r/(2a_0)}sin(\theta)e^{i\phi})[\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}r](re^{-r/(2a_0)}sin(\theta)e^{-i\phi})r^2sin(\theta)drd\theta d\phi$.

Men hur gör jag nu? Jag antar att jag skall derivera delen $\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}r^2e^{-r/(2a_0)}$ och sedan bara integrera som vanligt? Jag är lite osäker om jag är på rätt väg eller om jag tänkt fel.

OBS: Rätt mycket matte så om ni ser något fel så försöker jag troligtvis ändra det efter posten. Vänta ett tag så har jag nog ändrat tills dess!