ta fram gränsvärde, om det finns (envariabelanalys)

Vilket tecken har $(2-x)^2$? Vilket tecken då $\sqrt{(2-x)^2}$? Vilket/vilka tecken har nämnaren på olika sidor 2?

men hänger inte med här hur jag ska avgöra resten utan att rita den.

Varför vill du inte rita?

haraldfreij skrev:

Vilket tecken har $(2-x)^2$? Vilket tecken då $\sqrt{(2-x)^2}$? Vilket/vilka tecken har nämnaren på olika sidor 2?

${(2-x)}^2$ har tecknen + -

nämnaren har + - beroende på vilket håll av 2an man kommer

men förstår fortfarande inte hur jag ska räkna då jag inte vet tecken på täljaren

Smaragdalena skrev:

men hänger inte med här hur jag ska avgöra resten utan att rita den.

Varför vill du inte rita?

för när jag ritat ser jag att det saknar gränsvärde men vill samtidigt kunna räkna fram det utan att rita

Maremare skrev:

${(2-x)}^2$ har tecknen + -

Stämmer verkligen det?

Pröva med t.ex. $x = 1$, $x=2$ och $x = 3$.

Kan du öht hitta något värde på $x$ som gör att $(2-x)^2$ blir negativt?

Om du fortfarande är osäker så kan du rita grafen till $y = (2-x)^2$ i ett koordinatsystem och se om den någonsin går under $x$-axeln.

nämnaren har + - beroende på vilket håll av 2an man kommer

Ja det stämmer.

men förstår fortfarande inte hur jag ska räkna då jag inte vet tecken på täljaren

Se ovan.

Maremare skrev:

haraldfreij skrev:

Vilket tecken har $(2-x)^2$? Vilket tecken då $\sqrt{(2-x)^2}$? Vilket/vilka tecken har nämnaren på olika sidor 2?

${(2-x)}^2$ har tecknen + -

 

Nej, en kvadrat (av ett reellt tal) är aldrig negativ.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

${(2-x)}^2$ har tecknen + -

Stämmer verkligen det?

Pröva med t.ex. $x = 1$, $x=2$ och $x = 3$.

Kan du öht hitta något värde på $x$ som gör att $(2-x)^2$ blir negativt?

Om du fortfarande är osäker så kan du rita grafen till $y = (2-x)^2$ i ett koordinatsystem och se om den någonsin går under $x$-axeln.

nämnaren har + - beroende på vilket håll av 2an man kommer

Ja det stämmer.

men förstår fortfarande inte hur jag ska räkna då jag inte vet tecken på täljaren

Se ovan.

nej jag menar det jag skrev i inledningen att med rotentecknet  i täljaren undrade jag om det blev +- men om det bara blir + så kan jag lösa denna vidare

blev förvirrad över täljaren

tänkte på tex  x^2 = 9 där tar man roten ur bägge sidor och får +- som svar och eftersom x var med i täljaren med roten ur undrade jag om det blev +- också

Maremare skrev:

nej jag menar det jag skrev i inledningen att med rotentecknet  i täljaren undrade jag om det blev +- men om det bara blir + så kan jag lösa denna vidare

blev förvirrad över täljaren

tänkte på tex  x^2 = 9 där tar man roten ur bägge sidor och får +- som svar och eftersom x var med i täljaren med roten ur undrade jag om det blev +- också

Ja det är lätt att röra ihop det.

Men du kan tänka så här (förutsatt att $x$ är ett reellt tal:

• Talet $2-x$ kan vara negativt, noll eller positivt.
• Talet $(2-x)^2$ kan bara vara noll eller positivt.
• Roten ur ett reellt tal $b$ är per definition det icke-negativa tal vars kvadrat är lika med $b$, vilket innebär att även talet $\sqrt{(2-x)^2}$ bara kan vara noll eller positivt.

Vi kan sammanfatta detta i följande regel för ett godtyckligt reellt tal $a$: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Då kan du skriva om kvoten på ett enklare sätt.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

nej jag menar det jag skrev i inledningen att med rotentecknet  i täljaren undrade jag om det blev +- men om det bara blir + så kan jag lösa denna vidare

blev förvirrad över täljaren

tänkte på tex  x^2 = 9 där tar man roten ur bägge sidor och får +- som svar och eftersom x var med i täljaren med roten ur undrade jag om det blev +- också

Ja det är lätt att röra ihop det.

Men du kan tänka så här (förutsatt att $x$ är ett reellt tal:

• Talet $2-x$ kan vara negativt, noll eller positivt.
• Talet $(2-x)^2$ kan bara vara noll eller positivt.
• Roten ur ett reellt tal $b$ är per definition det icke-negativa tal vars kvadrat är lika med $b$, vilket innebär att även talet $\sqrt{(2-x)^2}$ bara kan vara noll eller positivt.

Vi kan sammanfatta detta i följande regel för ett godtyckligt reellt tal $a$: $\sqrt{a^2}=|a|$.

Då kan du skriva om kvoten på ett enklare sätt.

yes yes okej okej då är det kanske bättre för mig som kan röra ihop det att skriva $\frac{\sqrt{{(2-x)}^2}}{x-2}=\frac{|2-x|}{x-2}$

tusen tack för hjälpen!

Maremare skrev:

yes yes okej okej då är det kanske bättre för mig som kan röra ihop det att skriva $\frac{\sqrt{{(2-x)}^2}}{x-2}=\frac{|2-x|}{x-2}$

tusen tack för hjälpen!

Yes, och då blir det tydligt vad som händer med kvoten då x närmar sig 2, dels från vänster, dels från höger:

Maremare skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

men hänger inte med här hur jag ska avgöra resten utan att rita den.

Varför vill du inte rita?

för när jag ritat ser jag att det saknar gränsvärde men vill samtidigt kunna räkna fram det utan att rita

Hur gör du när du ritar? Det bästa är att rita för hand. Ibland kan det vara bra att rita med räknare för att se vad det är man skall komma fram till, men det viktigaste är att kunna rita för hand. 

Smaragdalena skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

men hänger inte med här hur jag ska avgöra resten utan att rita den.

Varför vill du inte rita?

för när jag ritat ser jag att det saknar gränsvärde men vill samtidigt kunna räkna fram det utan att rita

Hur gör du när du ritar? Det bästa är att rita för hand. Ibland kan det vara bra att rita med räknare för att se vad det är man skall komma fram till, men det viktigaste är att kunna rita för hand. 

vet faktiskt inte hur jag skulle rita denna mer än att sätta in värden och punkter sen dra sträck, har inte kommit till rita grafer kapitlet än

men kanske att nämnaren är uppskjuten 2 och nämnaren nerskjuten 2 sen att de delar varandra blir det en konstant därav ett sträck bara men det var en ren gissning bara 

Att rita grafer lärde du dig redan på gymnasiet, om inte tidigare.

men kanske att nämnaren är uppskjuten 2 och nämnaren nerskjuten 2 sen att de delar varandra blir det en konstant därav ett sträck bara men det var en ren gissning bara 

Det du skriver nu är fullständigt obegripligt.

Täljaren är alltid ett positivt tal - roten ur x är "det positiva tal som blir x när man kvadrerar det". Nämnaren är alltid lika stor, men är positiv om x>2 och negativ om x<2. Kvoten är alltså 1 om x>2 och -1 om x<2.

Smaragdalena skrev:

Att rita grafer lärde du dig redan på gymnasiet, om inte tidigare.

men kanske att nämnaren är uppskjuten 2 och nämnaren nerskjuten 2 sen att de delar varandra blir det en konstant därav ett sträck bara men det var en ren gissning bara 

Det du skriver nu är fullständigt obegripligt.

Täljaren är alltid ett positivt tal - roten ur x är "det positiva tal som blir x när man kvadrerar det". Nämnaren är alltid lika stor, men är positiv om x>2 och negativ om x<2. Kvoten är alltså 1 om x>2 och -1 om x<2.

Jag gick gymnasiet för över 20 år sen det är möjligt att jag lärde mig det där men jag har gjort annat sen dess och kan inte det nu. dessutom har jag inte kommit in på det kapitlet i den kurs jag läser nu därav kan jag inte det ännu

Om du inte har dina gymnasiekunskaper aktuella, så rekommenderar jag att du ser till att repetera dem innan du sätter igång med universitetsmatten. Det kommer att underlätta enormt för dig! Två bra sätt är att göra några gamla nationella prov (googla!) och kolla vad det är du inte har koll på och sedan plugga igenom detta på matteboken.se

Hej Maremare,

Du har frågetecken kring hur man hanterar kvadratrot av kvadrater, $\sqrt{y^2}.$ Det gäller att

    $\sqrt{y^2} = |y|$

där $|y|$ betecknar absolutbeloppet till talet $y$.

Detta betyder att din kvot kan skrivas

    $\frac{|x-2|}{x-2}$,

som är lika med $1$ när $x>2$ och som är lika med $-1$ om $x<2$; då $x=2$ är kvoten odefinierad eftersom man då dividerar med noll.

Om det sökta gränsvärdet existerar så ska kvoten närma sig samma tal oavsett om $x$ närmar sig talet $2$ från vänster (då är $x<2$) eller om $x$ närmar sig talet $2$ från höger (då är $x>2$). Då detta inte är fallet följer det att det sökta gränsvärdet ej existerar.