Ta fram egenvärden och egenvektorer

I b gäller det rummet av 2x2-matriser. Skriv upp en godtycklig sådan (a_ij) Transponera, subtrahera transponatet och tag determinanten som du gjorde i a. Obs att vektorerna här är matriser. Utgå från att det är vanlig matrismultiplikation.

Tomten skrev:

I b gäller det rummet av 2x2-matriser. Skriv upp en godtycklig sådan (a_ij) Transponera, subtrahera transponatet och tag determinanten som du gjorde i a. Obs att vektorerna här är matriser. Utgå från att det är vanlig matrismultiplikation.

hur ska den godtyckliga matrisens se ut? ska det vara bokstäder i som tex $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$eller ska jag bara välja godtyckliga siffror att räkna med?

Ja, den matrisen som angav funkar bra.

Alternativt, så kan man visa att G/2 är en idempotent operator.

Hur går det med denna? Kommer du vidare?

Här är ett annorlunda sätt att lösa den.

Varje (kvadratisk) matris A kan skrivas (unikt) som summan av en symmetrisk matris As och en antisymmetrisk matris Aa.

A = As + Aa. Visa detta om det inte är känt.

G(A) = G(As + Aa) = G(As) + G(Aa) = (As) - (As)^T + (Aa) - (Aa)^T = 2Aa.

Vårt egenvärdesproblem blir därmed

$\lambda$(As + Aa) = 2Aa  (1)  $\iff$

(2-$\lambda$)Aa = $\lambda$As   (2).

Notera att VL i (2) är en antisymmetrisk matris och HL en symmetisk matris.

Den enda matris som är både symmetrisk och antisymmetrisk är nollmatrisen.

VL är noll om $\lambda$=2 eller Aa = 0.

I. Om $\lambda$=2 så måste vi ha att As = 0 för att också HL skall vara noll. Slutsats: $\lambda$=2

är ett egenvärde och alla (nollskilda) antisymmetriska matriser är egenvektorer.

II. Om Aa=0 så kan HL vara noll endast om $\lambda$=0. I det fallet kan As vara vilken nollskild symmetrisk matris som helst. Slutsats: $\lambda$=0 är ett egenvärde och alla nollskilda symmetriska matriser är egenvektorer.