System av ODE vs Diff.ekv i envariabelanalysen

Hej, jag själv skaffade mig nog lite knepig ingång till det här med system av ODE. Jag har bara studerat system när matrisen A är diagonaliserbar/eller enkelt kan delas upp till två matriser där en är nilpotent och när vi har ett "begynnelsevärdes-villkor" (man kanske inte kallar det så när man pratar om system av ODE).

Jag försöker någonstans likna det med Diffekvationer i Envariabel.

Ex: y(t)'-dy(t)=0 , d konstant, har ju lösningen $y (t) = C e^{d t}$ , C konstant, sätter jag begynnelsevillkoret y(0)=3 blir lösningen: $y (t) = 3 e^{d t}$ .

Men om jag kollar på system av differentialekvationer: $A = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 1 & - 1 \end{matrix}],$ där jag vill lösa Ax=x' så är ju en lösning (anta v är en egenvektor): För $λ = - 1$ har vi $v = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$

Och då är en lösning till systemet: $u = e^{- t} [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$

Det är här vet jag inte riktigt hur jag ska tolka resultatet. Jag vet att jag ska bygga en basis för solution space och att u är en basvektor till en sådan enligt satsen på bilden och att jag, i detta fall, behöver två oberoende sådana vektorer. Jag vet också att jag kan skaffa den andra genom att beräkna en generaliserad egenvektor med vektorn v som bas och sen få ett explicit uttryck för x(t).

Det jag inte riktigt förstår är vad man menar med att x(t) = u är en lösning, till vad exakt? Om jag har en initialt värde x(0)≠span(u), vad drar jag för slutsats av då? Om värdet för x(0) är att betrakta som en konstant så är ju det här en lösning för bara vissa begynnelsvärdesvillkor?

$(4) A x (t) = x' (t)$

Svara