System av ODE, uppgift med komplexa egenvektorer och egenvärden

Hej, behöver hjälp med följande uppgift:

$[\begin{matrix} x' (t) \\ y' (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 2 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}]$ , jag har löst ut egenvärden och egenvektorer: $λ_{1} = 2 - i, v_{1} = [\begin{matrix} 1 + i \\ 2 \end{matrix}], λ_{2} = 2 + i, v_{2} = [\begin{matrix} 1 - i \\ 2 \end{matrix}]$

Lösningen på systemet blir då: $r (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}] = C_{1} e^{(2 - i) t} [\begin{matrix} 1 + i \\ 2 \end{matrix}] + C_{2} e^{(2 + i) t} [\begin{matrix} 1 - i \\ 2 \end{matrix}]$ vilket sen kan skrivas om till:

$r (t) = C_{1} e^{2 t} (\cos t - i \sin t) [\begin{matrix} 1 + i \\ 2 \end{matrix}] + C_{2} e^{2 t} (\cos t + \sin t) [\begin{matrix} 1 - i \\ 2 \end{matrix}]$ som i sin tur kan skrivas om till:

$r (t) = C_{1} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{1} i e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t - \sin t \\ - 2 \sin t \end{matrix}] + C_{2} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{2} i e^{2 t} [\begin{matrix} \sin t - \cos t \\ 2 \sin t \end{matrix}]$

Där realdelen av lösningen blir:

$r (t) = [\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}] = C_{1} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{2} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] = e^{2 t} [\begin{matrix} (C_{1} + C_{2}) \cos t + (C_{1} + C_{2}) \sin t \\ (C_{1} + C_{2}) 2 \cos t \end{matrix}]$

Men svaret i facit är:

$[\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}] = e^{2 t} [\begin{matrix} C_{1} \cos t + C_{2} \sin t \\ (C_{1} + C_{2}) \cos t + (C_{2} - C_{1}) \sin t \end{matrix}]$

Det står inte i uppgiften att vi ska ha just realdelen av lösningen men i.o.m att svaret inte har i med i sig så antar jag att det är realdelen vi ska ha.

Kan någon se var jag gör fel?

Tack på förhand!

EDIT: Sorry! hade fel plats på C2 och C1 i facit, så justerade det

Observera att C1 och C2 är komplexa. Medför att C1i, C2i är komplexa konstanter. Varför tar du realdelen av lösningen ovan? Fel.

Jobba vidare med att skriva om lösningen du har innan "Där realdelen.." och tänk på att facits konstanter INTE är lika med dina

konstanter.

och det du påstår som realdelen är inte realdelen då Cx:na inte reella.

Tack för svaret Torgil! Jag ska räkna om nu baserat på den informationen du gav mig. Snabb fråga bara, jag hade ingen aning om att C1 och C2 var komplexa, varför är dom det?

Min enda tidigare erfarenhet av system likt dessa är från Linjär Algebra och då hade vi alltid en startvektor x(0) där:

$x (0) = c_{1} v_{1} + . . . + c_{n} v_{n}, d ä r c_{i} (0) = c_{i}, i = 1, . . ., n, o c h v_{1}, . . ., v_{n}$ egenvektorer. Därför har jag alltid tänkt att C1 och C2 är två godtyckliga konstanter som vi får ut först efter att vi har något startvärde x(0) att ta hänsyn till.

Jag har inte riktigt förstått varför jag kan göra såhär ännu, men om jag bortser från alla i så får jag att:

$r (t) = C_{1} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{1} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t - \sin t \\ - 2 \sin t \end{matrix}] + C_{2} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{2} e^{2 t} [\begin{matrix} \sin t - \cos t \\ 2 \sin t \end{matrix}] =$

$[\begin{matrix} 2 C_{1} \cos t + 2 C_{2} \sin t \\ 2 C_{1} \cos t - 2 C_{1} \sin t + 2 C_{2} \cos t + 2 C_{2} \sin t \end{matrix}] = {S ä t t D_{1} = 2 C_{1} o c h D_{2} = 2 C_{2}} = [\begin{matrix} D_{1} \cos t + D_{2} \sin t \\ (D_{1} + D_{2}) \cos t + (D_{2} - D_{1}) \sin t \end{matrix}]$

Så det stämmer ju :)

Edit:

Fattar nu (till slut...) att om jag kallar den del av lösningen där jag har egenvektor v1 för x(t) och den del av lösningen där jag har egenvektor v2 y(t) så ska jag ta: Re[x(t)] = (1/2)(x(t)+y(t)) och lägga ihop med Im[x(t)] = (1/2i) (x(t)+y(t)) på så sätt går det ihop och jag ska alltså INTE skriva om konstanterna som D1 = 2C1 som jag gjort ovan.

$x (t) = C_{1} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{1} i e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t - \sin t \\ - 2 \sin t \end{matrix}]$

$y (t) = C_{2} e^{2 t} [\begin{matrix} \cos t + \sin t \\ 2 \cos t \end{matrix}] + C_{2} i e^{2 t} [\begin{matrix} \sin t - \cos t \\ 2 \sin t \end{matrix}]$

Tänk ist Cx:Na som komplexa. Varför komplexa. Tänk så här: I övrigt är alla termer komplexa så finns ingen orsak till att Cx:na inte komplexa. I så fall lägger du in ett bivillkor som är omotiverat och allt ska kunna motiveras! Att de vore reella kan också ses som begränsning/bivillkor som minskar de möjliga utfallen.

Aha okej då fattar jag, det fins helt enkelt ingen anledning att avgränsa sig till reella tal från början. Om jag får lov att ställa en till fråga för jag har uppenbarligen fortfarande inte fattat hur det här går till och jag har verkligen försökt förstå och lusläst det kompendium vi följer men det går inte ihop för mig.

Två bilder, dom ligger direkt efter varandra i texten, men kunde inte få med dom i en bild. Historien innan de två bilderna är att vi har en matris $A = [\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 4 & - 1 \end{matrix}]$ och vi har beräknat egenvektorerna och egenvärdena: $λ_{1} = 1 - 2 i, v_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 + i \end{matrix}], λ_{2} = 1 + 2 i, v_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 - i \end{matrix}]$

Där vi kallar: $x^{*} (t) = e^{λ_{1} t} v_{1}$ och $y^{*} (t) = e^{λ_{1} t} v_{2}$

Det står: "Two linearly independent real solutions can be chosen as real and imaginary parts of x*(t) (or y*(t))"

Ändå, beräknar man Re[x*(t)] = (1/2)(x*(t)+y*(t)) och Im[x*(t)] = (1/2i)(x*(t)-y*(t)), alltså verkar det som att man beräknar det som en kombination av x* och y*. Men sen i exemplet (precis innan answer) verkar det ju verkligen vara x* or y* man gör såhär med, för i exemplet så avslutar man ju med att ta just:

x(t) = C1Re[x(t)] + C2Im[x(t)] och behandlar dom båda som reella. Jag förstår inte hur det här hänger ihop med beskrivningen av vad t.ex Re[x*(t)] = (1/2)(x*(t)+y*(t)) är.

Svara

Visa senaste svar