Symmetrisk grupp

Det finns flera sätt att se att $\emptyset$ inte är surjektiv. Som de säger kan man se detta genom att observera att $(1234)$ inte finns med i bilden av $\emptyset$ men $(1234) \in S_5$. Alltså finns det element som inte nås av $\emptyset$ och $\emptyset$ kan inte vara surjektiv. För att se att $(1234)$ inte är mer i bilden kan man beräkna explicit vad $w^2, w^3, w^4, w^5$ är. Vet du hur man gör det?

Att $w$ har ordning 6 kan man som du säger se från att mgm(3,2) = 6. Den genererar en delgrupp av $S_5$ med 6 element. Tänk på att $S_5$ består av alla permutationer på 5 objekt och har således $5! = 120$ element. Detta är för övrigt ett annat sätt att se att $\emptyset$ inte är surjektiv, då dess bild innehåller 6 element medan $S_5$ innehåller 120.

okej så eftersom vi har många fler element i gruppen $S_5$ än i delgruppen av $S_5$ med 6 element så är $\varnothing$ inte surjektiv, men jag är inte med på hur man explicit beräknar $w^2,w3,w^4,w^5$  mer än som jag gjorde för att få fram tabellen.

Tricket med att beräkna produkter av cykler är att "spåra" var olika element hamnar. Jag visar med $w^2$ som exempel, så kan du ge dig på resten själv.

$w^2 = (145)(23)(145)(23)$.

Produkter av cykler läses från höger till vänster, man kan tänka på det som att cyklerna är funktioner som verkar på något till höger. Det detta innebär i vårat fall är att vi först ska "applicera" $(23)$, sedan $(145)$ osv.

Vi börjar med att spåra var $1$ hamnar. Applicerar vi cyklerna från höger till vänster på $1$ fås:

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 5$.

Fortsätter med $5$:

$5 \rightarrow 1 \rightarrow 4$.

$4 \rightarrow 5 \rightarrow 1$. Och nu är vi tillbaka till $1$. Detta innebär att $(154)$ är en av cyklerna i produkten.

Fortsätter med att spåra $2$:

$2 \rightarrow 3 \rightarrow 2$. Alltså avbildas $2$ på sig själv, och $(2)$ ska vara med i produkten. Då $(2)$ inte gör något (den skickar bara $2$ på sig själv) så skriver vi inte ut den i produkten senare.

Fortsätter med $3$,

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 3$. Detta blir samma sak som hände med $2$.

$4$ och $5$ kollade vi redan när vi började från $1$ så vi får alltså,

$w^2 = (145)(23)(145)(23) = (154)(2)(3) = (154)$.

okej då är jag med på den men om man sedan gör samma sak med $w^3$ får jag

$w^3=\left(1 5 4\right)\left(1 4 5\right)\left(2 3\right)$

$$\begin{gathered} 1\to 4\to 1 \\ 4\to 5\to 1 \\ 5\to 1\to 5 \end{gathered}$$ 

så varje element mappas tillbaka till sig själv.

Du har glömt att kolla var $2$ och $3$ avbildas.

$2\to 3$

3$\to 2$

så får vi då att $w^3=\left(2 3\right)$ ?

Ja precis.

ok då får jag

$$\begin{gathered} w=\left(145\right)\left(23\right) \\ {w}^2=\left(154\right) \\ {w}^3=\left(23\right) \\ {w}^4=\left(451\right) \\ {w}^5=\left(514\right)\left(23\right) \end{gathered}$$

men hur kan man av detta avlösa att $\varnothing$ inte är surjektiv?