Symmetrilinjer

lovisla03 skrev:

Om man tex ska bestämma symmetrilinjen till $-x^2+8x+2$: gör man

1. $-x^2+8x+2=0$

2.  x=$\frac{8}{2}\pm \sqrt{18}$

Varför är symmetrilinjen då x=$\frac{8}{2}=4$?? Jag trodde man skulle addera nollställena och dela i två, men läste på en sida där de säger såhär. Hade jag gjort som jag tänkt hade det blivit  $(4+\sqrt{18}+4-\sqrt{18})/2=4$

det stämmer ju också, men varför fungerar deras sätt? Är det helt enkelt för att det efter kommer ta ut varandra?

Tack i förhand!

Nollställena ligger på var sin sida om och lika långt ifrån symmetrilinjen.

Ena sättet att beräkna x-koordinaten för symmetrilinjen är alltså att beräkna medelvärdet av x-koordinaterna för de två nollställena. Medelvärdet $x_m$ av två tal $x_1$ och $x_2$ kan beräknas som $x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Andra sättet att ta reda på symmetrilinjens x-koordinat är att helt enkelt inse att den är lika med $-\frac{p}{2}$ (ur pq-formeln). Detta eftersom $\pm$ indikerar att det ena nollstället ligger en viss sträcka till vänster (minus) om  $-\frac{p}{2}$ och det andra nollstället ligger lika lång sträcka till höger (plus) om $-\frac{p}{2}$. Alltså ligger $-\frac{p}{2}$ mitt emellan nollställena.

Var det svar på din fråga?

Det är så andragradsfunktioner fungerar. Tänk efter lite så märker du att det fungerar: Om nollställerna är s+r respektive s-r så är medelvärdet 2s/2=s. Om du använder pq-metoden så sparar du tid på att hitta symmetrilinjen som -p/2 istället för att räkna flera steg innan du kommer framtill samma sak.

Yngve skrev:

lovisla03 skrev:

Om man tex ska bestämma symmetrilinjen till $-x^2+8x+2$: gör man

1. $-x^2+8x+2=0$

2.  x=$\frac{8}{2}\pm \sqrt{18}$

Varför är symmetrilinjen då x=$\frac{8}{2}=4$?? Jag trodde man skulle addera nollställena och dela i två, men läste på en sida där de säger såhär. Hade jag gjort som jag tänkt hade det blivit  $(4+\sqrt{18}+4-\sqrt{18})/2=4$

det stämmer ju också, men varför fungerar deras sätt? Är det helt enkelt för att det efter kommer ta ut varandra?

Tack i förhand!

Nollställena ligger på var sin sida om och lika långt ifrån symmetrilinjen.

x-koordinaten för symmetrilinjen är alltså medelvärdet av x-koordinaterna för de två nollställena. Medelvärdet $x_m$ av två tal $x_1$ och $x_2$ kan beräknas som $x_m=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Var det svar på.din fråga?

ja tack!

lovisla03 skrev:

ja tack!

Bra. Läs gärna mitt svar igen. Jag lade till ett förtydligande om -p/2.

Kanske en överkursbetonad kommentar:

Med kvadratkomplettering (KK) och insikt om translatering kan man resonera så här:

$-x^2+8x+2$=(KK)=
$-((x-4)^2-18)=-(x-4)^2+18$

Det innebär att kurvan $y=-x^2$ är högerförskjuten 4 steg i x-led. Insikten om att en parabel är symmetrisk kring sin symmetrilinje, ger oss att symmetrilinjen i detta fall måste vara x=4.

Anm  Vi kan med detta resonemang enkelt bestämma parabelns största värde - utan derivata.

Största värdet , y=18, inträffar i symmetrilinjens x-koordinat, eller hur? 

dr_lund skrev:

Kanske en överkursbetonad kommentar:

Med kvadratkomplettering (KK) och insikt om translatering kan man resonera så här:

$-x^2+8x+2$=(KK)=
$-((x-4)^2-18)=-(x-4)^2+18$

hur kan man se symmetrilinjen genom -(x-4)${}^2$+18?

symmetrilinjen för $y=-x^2$ är x=0.

Translatera denna parabel enligt mitt resonemang.

Då inser du svaret.

dr_lund skrev:

symmetrilinjen för $y=-x^2$ är x=0.

Translatera denna parabel enligt mitt resonemang.

Då inser du svaret.

jag fattar tack!