Symmetri

Densiteten beror varken av $y$ eller $z$.

Dvs $\rho(x,y,z)=\rho(x,-y,z)=\rho(x,y,-z)=\rho(x,-y,-z)$

Detta innebär att densiteten är symmetrisk m.a.p. både $y$ och $z$.

Det är ett klot! Det är symmetriskt kring alla koordinatplan

Hej, och tack för ditt svar, så detta betyder att eftersom densitet inte beror på y och Z , medför detta symmetri i yz planet. Men gäller det alltid att om densiteten inte beror på en variabel, att vi får symmetri, till exempel om den bara inte beror på y-Axel, att vi har symmetri kring y-axeln. 
mvh

suad 

Hej, betyder detta att klotet alltid är symmetrisk kring yz planet. Eller inte 

Hej, igen jag har ett annet fråga 

alltså varför gäller det bara att integral av ‘ax’ =0 och inte den andre integralen också. 

Mitt svar var lite dumt (irelevant). Det är som yngve säger att det är funktionen rhå definierad på ett klot som är symmetriskt kring yz planet. 

Så detta betyder att klotet är alltid symmetrisk kring yz planet, och varför gäller det bara att integral av ‘ax’ =0 och inte den andre integralen också. 

Hej, igen till exempel här är ett bild av klot. Hur kan jag se att den är symmetrisk kring yz planet.

I den senaste bilden står det inget om några koordinatplan, så man vet inte. 

Tack, men hur kan jag veta att klotet i uppgiften är symmetrisk i yz-planet

Eller gäller det allmant att varje klot är symmetrisk kring yz planet, men kan den också vara symmetrisk kring xz planet eller inte. 

och varför gäller det bara att integral av ‘ax’ =0 och inte den andre integralen också.

suad skrev:

Eller gäller det allmant att varje klot är symmetrisk kring yz planet, men kan den också vara symmetrisk kring xz planet eller inte. 

Ett klot har oändligt många symmetriplan.

Om klotets centrum ligger i origo så sammanfaller en del av dessa symmetriplan med xy-planet, med xz-planet och med yz-planet.

Men om klotet centrum t.ex. ligger i (1, 1, 1) så är varken xy-, xz- eller y-zplanet ett symmetriplan.

-----------

Men det som var intressant i den här uppgiften var att densitetsfunktionen $\rho$ är symmetrisk både med avseende på y och på z, alltså är densitetsfunktionen symmetrisk med avseende på x-yplanet.

och varför gäller det bara att integral av ‘ax’ =0 och inte den andre integralen också.

Den beror på att termen ax är antisymmetrisk med avseende på x, villet betyder att bidraget från den del av klotet där x < 0 "tar ut" bidraget från den del av klotet där x > 0.

-----------

Det här är helt analogt med det endimensionella fallet, att en integral av en udda funktion över ett jämnt intervall är lika med 0.

Tack så mycket, men hur vet jag att densitet function är symmetrisk med avsende på y och z

För funktionen är bara ett x, så det spelar ingen roll vad y och z är.

Så densitet funktionen är symmetrisk med yz planet eftersom den bara beror på x

Ja det var det jag skrev i mitt första svar.

Tack så mycket, ett sista fråga, varför är integranden med ax blir Lika med noll och inte den andra integralen

Det är samma sak som med en udda funktion i det endimensionella fallet.

Ta till exempel funktionen f(x) = x.

Den funktionen är udda (antisymmetrisk) eftersom f(-x) = -x = -f(x).

Integralen av denna funktion över ett jämnt intervall (säg från x = -1 till x = 1) lika med 0.

Tack så mycket no var det klart 

mvh

suad 

Den andra termen a är en jämn funktion, så det bidraget blir inte lika med.0.

Tack så mycket, men vad är Jämnt intervall 

För att förenkla något med symmetri måste du ha två saker (2) under kontroll.

De två sakerna är området och integranden.

1. Området ska vara symmetriskt.

2. Integranden ska vara jämn eller ojämn med avseende på symmetrin.

Så en ojämn funktion är till exempel f(-x) = -x = -f(x).

och en symmetrisk området är till exempel intervallet -1 och 1 

Ja.

1. intervallet $-1, -1$ är symmetriskt kring 0. (OMRÅDET)

2. Funktionen $f(x)=x$ är ojämn med avseende på 0, ty  $f(-x)=-f(x)$ (INTEGRANDEN)

Så till exempel f(-1)=-f(1) är integranden ojämn 

Nej det är inte ett tillräckligt villkor för att integranden ska vara ojämn (egentligen udda eller antisymmetrisk).

Ta till exempel $f(x)=x^2+2x-1$.

Den funktionen uppfyller villkoret $f-1)=-f(1)$, men den är ändå inte ojämn/antisymmetrisk.

Angående frågan varför $\int \int \int x dxdydz=0$, så skulle jag tänka att integralen är ju en summering av små volymelement multiplicerat med integranden, och eftersom klotet är symmetriskt (Qetsiyah's kommentar), så kommer varje litet volymelement på ena sidan yz-planet alltid att motsvaras av ett likadant volymelement på samma plats men på andra sidan yz-planet. Men eftersom integranden x är positiv i ena volymelementet och lika stor men negativ i andra volymelementet, så tar varje sådant "volymelement-par" ut varandra, och ger slutsumman (dvs integralen över hela klotet) noll. 

I fallet där integranden istället är en konstant så kommer volymelementen alltid att adderas.

Yngve skrev:

Nej det är inte ett tillräckligt villkor för att integranden ska vara ojämn (egentligen udda eller antisymmetrisk).

Ta till exempel $f(x)=x^2+2x-1$.

Den funktionen uppfyller villkoret $f(-1)=-f(1)$, men den är ändå inte ojämn/antisymmetrisk.

I detta fallet är t.ex. $f(-2)\neq -f(2)$ och funktionen är därför inte udda/antisymmetrisk.

För att en funktion ska vara det måste det för alla $x$ gälla att $f(-x) = -f(x)$.

Exempel: $f(x)=4x$, $f(x)=2x^3+x$, $f(x)=sin(x)$ och så vidare.

Men jag förstår inte, kan funktionen rhå anta negativa värden?

Jag tror det är svårare att föreställa sig udd-het eller jämn-het för skalärvärda funktioner av fler än 2 variabler, man får se på dess algebraiska uttryck.

Qetsiyah skrev:

Men jag förstår inte, kan funktionen rhå anta negativa värden?

...

Om $\rho$ antar negativa värden eller ej beror på relationen mellan konstanterna $a$, $b$ och radien $R$.

För att $\rho$ ska vara negativ så måste ju $ax+b<0$ för något värde på $x$ i definitionsmängden $-R\leq x\leq R$, vilket kanske inte alls är fallet.

Qetsiyah skrev:

Men jag förstår inte, kan funktionen rhå anta negativa värden?

Jag tror det är svårare att föreställa sig en udd-het eller jämn-het för skalärvärda funktioner av fler än 2 variabler, man får se på dess algebraiska uttryck.

Blanda inte in fysik i detta, det är ju en mattebok ;-)

Nä, densiteten kan ju inte vara negativ, det strider mot fysikens lagar (?). Däremot kan ju delar av det matematiska modellen för densiteten vara negativ.