Symmetri

heymel skrev:

 

 

Hur har dom fått symmetri? (blå markerade) det e ju iiiinge stymmetri?

På samma sätt som integralen av en udda funktion över ett jämnt intervall blir lika med 0 så ger de udda termerna $-3y^3$ och $-3x^3y^2$ nettobidraget 0 till ytintegralen eftersom ytan är "jämn" (cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$).

Yngve skrev:

heymel skrev:

 

 

Hur har dom fått symmetri? (blå markerade) det e ju iiiinge stymmetri?

På samma sätt som integralen av en udda funktion över ett jämnt intervall blir lika med 0 så ger de udda termerna $-3y^3$ och $-3x^3y^2$ nettobidraget 0 till ytintegralen eftersom ytan är "jämn" (cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$).

 Men det där har jag lite svårt för... 

Kan man räkna på det istället?

Yngve skrev:

heymel skrev:

 

 

Hur har dom fått symmetri? (blå markerade) det e ju iiiinge stymmetri?

På samma sätt som integralen av en udda funktion över ett jämnt intervall blir lika med 0 så ger de udda termerna $-3y^3$ och $-3x^3y^2$ nettobidraget 0 till ytintegralen eftersom ytan är "jämn" (cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$).

 så en "Ojämn" yta är..?

läste : 

$-3y^3$ och $-3x^3y^2$ är udda för att .. aah har svårt å se det i den funktionen.. Vill du visa?:(

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

heymel skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

heymel skrev:

 

 

Hur har dom fått symmetri? (blå markerade) det e ju iiiinge stymmetri?

På samma sätt som integralen av en udda funktion över ett jämnt intervall blir lika med 0 så ger de udda termerna $-3y^3$ och $-3x^3y^2$ nettobidraget 0 till ytintegralen eftersom ytan är "jämn" (cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$).

 så en "Ojämn" yta är..?

läste : 

 

$-3y^3$ och $-3x^3y^2$ är udda för att .. aah har svårt å se det i den funktionen.. Vill du visa?:(

Du kan dela upp integralen i tre delar, en med integrand $-3y^3$, en med integrand $-3x^3y^2$ och en med integrand $3x^2$.

Om vi börjar med att titta på den första integralen så gäller det att för varje punkt (x, y) i integrationsområdet så har integranden samma värde fast med omvänt tecken i pukten (x, -y).

Exempel:

• I punkten (0, 1) har integranden värdet $-3\cdot 1^3=-3$.
• I punkten (0, -1) har integranden värdet $-3\cdot (-1)^3=3$.

Dessa två punkter genererar alltså inget nettotillskott till integralens värde.

Alla pukter i hela integrationsområdet kan på detta sätt paras ihop två och två så att denna integrals värde blir noll.

På samma sätt gäller för den andra integralen att punkterna i integrationsområdet kan paras ihop två och två (x, y) respektive (-x, y).

Integranden har värdet $-3x^3y^2$ i ena punkten och $-3(-x)^3y^2=3x^3y^2$ i den andra punkten. Nettobidraget blir även här lika med 0.

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

om jag tex har $1+x^2y$

om x = negativ blir den positiv
men om y är negativ blir hela alltet negativt men + 1 blir det positivt

omvänt:

om x = negativ blir den positiv
men om y är positiv blir hela alltet positivt men + 1 blir det negativt

--- Dilemma?

Yngve skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

heymel skrev:

 

 

Hur har dom fått symmetri? (blå markerade) det e ju iiiinge stymmetri?

På samma sätt som integralen av en udda funktion över ett jämnt intervall blir lika med 0 så ger de udda termerna $-3y^3$ och $-3x^3y^2$ nettobidraget 0 till ytintegralen eftersom ytan är "jämn" (cirkelskivan $x^2+y^2\le 1$).

 så en "Ojämn" yta är..?

läste : 

 

$-3y^3$ och $-3x^3y^2$ är udda för att .. aah har svårt å se det i den funktionen.. Vill du visa?:(

Du kan dela upp integralen i tre delar, en med integrand $-3y^3$, en med integrand $-3x^3y^2$ och en med integrand $3x^2$.

Om vi börjar med att titta på den första integralen så gäller det att för varje punkt (x, y) i integrationsområdet så har integranden samma värde fast med omvänt tecken i pukten (x, -y).

Exempel:

• I punkten (0, 1) har integranden värdet $-3\cdot 1^3=-3$.
• I punkten (0, -1) har integranden värdet $-3\cdot (-1)^3=3$.

Dessa två punkter genererar alltså inget nettotillskott till integralens värde.

Alla pukter i hela integrationsområdet kan på detta sätt paras ihop två och två så att denna integrals värde blir noll.

På samma sätt gäller för den andra integralen att punkterna i integrationsområdet kan paras ihop två och två (x, y) respektive (-x, y).

Integranden har värdet $-3x^3y^2$ i ena punkten och $-3(-x)^3y^2=3x^3y^2$ i den andra punkten. Nettobidraget blir även här lika med 0.

 Så alltså, då kan man "ta bort" dom, alltså man behöver ej räkna dom? men antas att de sedan adderas till den sista integralen?

heymel skrev:

 Så alltså, då kan man "ta bort" dom, alltså man behöver ej räkna dom? men antas att de sedan adderas till den sista integralen?

Om du delar upp integralen som jag skrev, alltså $I=I_1+I_2+I_3$ så blir $I_1=0$ och $I_2=0$ på grund av symmetri ("udda" funktion över "jämnt" intervall som jag förklarade). Däremot blir $I_3\neq 0$.

Så ja, du kan se det som att $I=0+0+I_3$ om det är det du menar med att de "adderas till den sista integralen".

Hängde du med på resonemanget med att alla punkter i integrationsområdet kan paras ihop på de sätten så att både $I_1$ och $I_2$ blir lika med 0?

heymel skrev:

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

 

om jag tex har $1+x^2y$

om x = negativ blir den positiv
men om y är negativ blir hela alltet negativt men + 1 blir det positivt

omvänt:

om x = negativ blir den positiv
men om y är positiv blir hela alltet positivt men + 1 blir det negativt

--- Dilemma?

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Smaragdalena skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

 

om jag tex har $1+x^2y$

om x = negativ blir den positiv
men om y är negativ blir hela alltet negativt men + 1 blir det positivt

omvänt:

om x = negativ blir den positiv
men om y är positiv blir hela alltet positivt men + 1 blir det negativt

--- Dilemma?

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Så den är inte symmetrisk? 

Smaragdalena skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

 

om jag tex har $1+x^2y$

om x = negativ blir den positiv
men om y är negativ blir hela alltet negativt men + 1 blir det positivt

omvänt:

om x = negativ blir den positiv
men om y är positiv blir hela alltet positivt men + 1 blir det negativt

--- Dilemma?

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Inget dilemma. Det finns funktioner som varken är jämna eller udda.

Men du kan dela upp $f(x, y)=g(x,y)+h(x,y)$, där $g(x,y)=1$ och $h(x,y)=x^2y$.

Då gäller att $g(x,y)$ är konstant, dvs varken jämn eller udda, samt att $h(x,y)=-h(x,-y)$ är udda med avseende på $y$.

heymel skrev:

Smaragdalena skrev:

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Så den är inte symmetrisk? 

 Nej den är inte symmetrisk.

Jämför med följande endimensionella fall och rita graferna:

• $f(x)=3x$ är antisymmetrisk, det är en udda funktion.
• $f(x)=x^2$ är symmetrisk, det är en jämn funktion.
• $f(x)=2x+2$ är osymmetrisk, det är varken en jämn eller en udda funktion.

Yngve skrev:

heymel skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Så den är inte symmetrisk? 

 Nej den är inte symmetrisk.

Jämför med följande endimensionella fall och rita graferna:

• $f(x)=3x$ är antisymmetrisk, det är en udda funktion.
• $f(x)=x^2$ är symmetrisk, det är en jämn funktion.
• $f(x)=2x+2$ är osymmetrisk, det är varken en jämn eller en udda funktion.

 Vad är skillnaden mellan antisymmetrisk och osymmetrisk?

Yngve skrev:

Smaragdalena skrev:

Visa föregående citat

heymel skrev:

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Rita!

Väldigt många funktioner är varken udda eller jämna.

En jämn funktion f(x) är symmetrisk  d v s f(-x) = f(x).

En udda funktion f(x) är antisymmetrisk d v s f(-x) = -f(x).

En jämn funktion multiplicerad med en jämn funktion blir en jämn funktion.

En udda funktion multiplicerad en jämn funktion blir en udda funktion.

En udda funktion multiplicerad en udda funktion blir en jämn funktion.

$x^3$ är en udda funktion, eftersom f(-x) = -f(x). ($-3$ är en jämn funktion.) $y^2$ är en jämn funktion, eftersom f(-y) = f(y). $-3y^3x^2$ är en udda funktion gånger en jämn funktion gånger en jämn funktion, alltså en udda funktion.

 

om jag tex har $1+x^2y$

om x = negativ blir den positiv
men om y är negativ blir hela alltet negativt men + 1 blir det positivt

omvänt:

om x = negativ blir den positiv
men om y är positiv blir hela alltet positivt men + 1 blir det negativt

--- Dilemma?

Nej, inget dilemma. Om $f(x,y)=1+x^2y$ så är f(x,y) varken en udda eller jämn funktion.

Inget dilemma. Det finns funktioner som varken är jämna eller udda.

Men du kan dela upp $f(x, y)=g(x,y)+h(x,y)$, där $g(x,y)=1$ och $h(x,y)=x^2y$.

Då gäller att $g(x,y)$ är konstant, dvs varken jämn eller udda, samt att $h(x,y)=-h(x,-y)$ är udda med avseende på $y$.

föööör... är det här fel då?

föööör... är det här fel då?

Troligen inte, men det är svårt att avgöra  är du inte skriver med hela problemformuleringen.

Som vanligt: Har du ritat? Det mesta som har med symmetri att göra blir mycket enklare att se om du ritar upp det.

Smaragdalena skrev:

föööör... är det här fel då?

Troligen inte, men det är svårt att avgöra  är du inte skriver med hela problemformuleringen.

Som vanligt: Har du ritat? Det mesta som har med symmetri att göra blir mycket enklare att se om du ritar upp det.

 
Jag skulle sätta z=0 för att då få en ellips med radien 1. och 0 <= z, så skulle rita den:

... eller :$

för sätter man z till inte lika med 0 så är det ju:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

heymel skrev:

 Vad är skillnaden mellan antisymmetrisk och osymmetrisk?

En (envariabel)funktion f(x) som är antisymmetrisk (m.a.p. origo) uppfyller villkoret $f(-x)=-f(x)$, dvs funktionen är udda.

En (envariabel)funktion f(x) som är osymmetrisk (m.a.p. origo) uppfyller varken villkoret $f(-x)=-f(x)$ eller $f(-x)=f(x)$, dvs funktionen är varken udda eller jämn.

Yngve skrev:

...

Men du kan dela upp $f(x, y)=g(x,y)+h(x,y)$, där $g(x,y)=1$ och $h(x,y)=x^2y$.

Då gäller att $g(x,y)$ är konstant, dvs varken jämn eller udda,

...

Förlåt, jag skrev fel här.

$g(x,y)=1$ är förvisso konstant, men det är såklart en jämn funktion, både m.a.p. $x$ och m.a.p. $y$.

Detta eftersom $g(-x,y)=g(x,y)$ och $g(x,-y)=g(x,y)$.

Smaragdalena skrev:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

 Nää... inte riktigt men om jag vill räkna det här. in case. 

hur gör man då? 

då skulle jag göra:

= [polära kordinater] = $$\int_(2pi)^0 \int_0^2 r(1+r^2cos^2r*sin) drdO$$ eller?

ps... vad gör jag för fel när det kommer till LaTEx-grejen, det ska ju vara dubbel dollartecken före å efter ekvationen.... grrrrrr

Smaragdalena skrev:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

men vår funktion vara ju varken jämn eller udda..??? 

Egentligen menade jag ett symmetriskt område, inte ett symmetriskt intervall. Om du tittar på paraboloiden du la in tidigare, så ser du att varje snitt parallellt med xy-planet (d v s vinkelrätt mot z-axeln) är en ellips. En ellips är spegelsymmetrisk både längs lillaxeln och storaxeln, alltså i det här fallet både i x-led och i y-led.

Smaragdalena skrev:

Egentligen menade jag ett symmetriskt område, inte ett symmetriskt intervall. Om du tittar på paraboloiden du la in tidigare, så ser du att varje snitt parallellt med xy-planet (d v s vinkelrätt mot z-axeln) är en ellips. En ellips är spegelsymmetrisk både längs lillaxeln och storaxeln, alltså i det här fallet både i x-led och i y-led.

 Okej, jag fattar.

Men jag är fortfarande inte med på - av döma att se områdets siffror (ej plot) - att de är udda eller jämna, eller inget av dom. 

om en funktion är udda,  o vi har ett symmetrisk intervall. Så blir integralen lika med 0. Det fattar jag.

Men i det här fallet $1+x^2y$ i vårt symmetriska intervall.. så är det ju varken udda eller jämn. Så tycker det är konstigt...

Smaragdalena skrev:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

 Är det något av stegen i det här inläggen du inte hängde med på? Vi tar oss alltså ur dilemmat att integranden $1+x^2y$ vare sig är udda eller jämn genom att dela upp den i summan av två funktioner, $1$ som är jämn och $x^2y$ som är udda m a p y (men jämn m a p x, men det spelar ingen roll eftersom noll gånger nånting = noll), och då blir det bara integralen av 1 som "överlever".

Smaragdalena skrev:

Smaragdalena skrev:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

 Är det något av stegen i det här inläggen du inte hängde med på? Vi tar oss alltså ur dilemmat att integranden $1+x^2y$ vare sig är udda eller jämn genom att dela upp den i summan av två funktioner, $1$ som är jämn och $x^2y$ som är udda m a p y (men jämn m a p x, men det spelar ingen roll eftersom noll gånger nånting = noll), och då blir det bara integralen av 1 som "överlever".

 JAAAA men ååå.. då är jag med, trodde inte man kunde "splitta" på dem, fattade inte det i inlägget. men då är jag med. 

Smaragdalena skrev:

Smaragdalena skrev:

Du har ett område som ör symmetriskt i x-led och i y-led (men inte i z-led), ör du med på det?

Om vi tittar på integralen endast i y-led, så kan vi dela upp den i två integraler, en där integranden är 1 och en där integranden är $xy^2$, är du med på det?

Den andra av dessa integraler har värdet 0 eftetsom det är integralen av en udda funktion över ett symndtriskt intetvall, är du med på det?

Alltså är det bara integralen av 1 som blir kvar, precis som de skrivit i facit. 

 Är det något av stegen i det här inläggen du inte hängde med på? Vi tar oss alltså ur dilemmat att integranden $1+x^2y$ vare sig är udda eller jämn genom att dela upp den i summan av två funktioner, $1$ som är jämn och $x^2y$ som är udda m a p y (men jämn m a p x, men det spelar ingen roll eftersom noll gånger nånting = noll), och då blir det bara integralen av 1 som "överlever".

 ett ex till så jag verkligen fattar detta: 

$3x^2+3y^2+x$ i ett symmetrisk intervall [-a,a]

Denna är varken udda eller jämn, men det tanke sättet som du gjorde, så får vi bara $x$ kvar sen?  Om man delar upp dom? 

--. eller nej. x är udda.

$3x^2+3y^2$ är alltid jämn.
så därför tar vi bort $x$ och låter $3x^2+3y^2$ vARA KVAR?

Hej heymel,

Funktionen $xy^2$ är positiv på den högra sidan eftersom x är positivt där och $y^2$ alltid är positiv.

På den vänstra sidan är $xy^2$ negativ eftersom x är negativ där och $y^2$ alltid är positiv. Nedan är en bild där vi kluddat in +-tecken på sidan där funktionen är positiv och - tecken på sidan där den är negativ.

Eftersom områdena är symmetriska och kommer bidraget från det blå området (det med positiva värden) till beloppet vara vara exakt lika stort som  bidraget från det röda området (det med negativa värden) , men de har olika tecken. Lägger man ihop dem får man 0.

Alltså är

$\displaystyle \int_S xy^2\, dS=0$

av symmetri.

heymel skrev:

 ett ex till så jag verkligen fattar detta: 

$3x^2+3y^2+x$ i ett symmetrisk intervall [-a,a]

Denna är varken udda eller jämn, men det tanke sättet som du gjorde, så får vi bara $x$ kvar sen?  Om man delar upp dom? 

--. eller nej. x är udda.

$3x^2+3y^2$ är alltid jämn.
så därför tar vi bort $x$ och låter $3x^2+3y^2$ vARA KVAR?

Om du menar symmetriskt område kring origo typ $x^2+y^2\leq |a|$ så stämmer det att den udda termen $x$ inte ger något nettobidrag till integralen utan att det endast är de jämna termerna $3x^2$ och $3y^2$ som ger ett nettobidrag.

Guggle skrev:

Hej heymel,

Funktionen $xy^2$ är positiv på den högra sidan eftersom x är positivt där och $y^2$ alltid är positiv.

På den vänstra sidan är $xy^2$ negativ eftersom x är negativ där och $y^2$ alltid är positiv. Nedan är en bild där vi kluddat in +-tecken på sidan där funktionen är positiv och - tecken på sidan där den är negativ.

 

Eftersom områdena är symmetriska och kommer bidraget från det blå området (det med positiva värden) till beloppet vara vara exakt lika stort som  bidraget från det röda området (det med negativa värden) , men de har olika tecken. Lägger man ihop dem får man 0.

Alltså är

$\displaystyle \int_S xy^2\, dS=0$

av symmetri.

Ahh jag är med på den illustrationen. Kruxet var bara att förstå vilken term som kunde tas bort.. 

Får kolla på mer exempel å typ återkomma ^^