Svårigheter att allmänt beskriva matrismultiplikation av nxn matris.

Börjar med att skriva av uppgiften även om det inte är mitt problem. Uppgiften är löst, men jag lyckas inte kommunicera min lösning särskilt väl.

Uppgift:
Ange om den givna mängden av matriser under den specifika operatorn (matrisaddition eller matrismultiplikation) är en grupp.
Kom ihåg att en diagonalmatris är en likformig matris som bara har element skilda från noll i huvud diagonalen och att en övertriangulär matris är en matris med nollor i alla element under diagonalen.

Alla $n \times n$ övertriangulära matriser under matrismultiplikation.

Lösning:

Först visa att operatorn är väl definierad och sluten.
Kontrollera gruppaxiomen G1, G2 och G3. Där G1 och G2 verifieras men G3 fallerar för att det inte finns någon invers till matrisen med bara nollor även om den är övertriangulär.

Mitt problem:
Hur kan jag på ett smidigt sätt skriva en $n \times n$ matris i multiplikation Det blir inte så snyggt att kommunicera det i matrisform:
Antag att:

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{22} \end{matrix}]$ och $B = [\begin{matrix} b_{11} & b_{21} & \dots & b_{n 1} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & b_{22} \end{matrix}]$ .

Då blir $A * B = [\begin{matrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{21} + a_{21} b_{22} & \dots & a_{11} b_{n 1} + a_{21} b_{n 2} + . . . + a_{n 1} b_{n n} \\ 0 & a_{22} b_{22} & \dots & a_{22} b_{n 2} + . . . + a_{n 2} b_{n n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} b_{n n} \end{matrix}]$ och därmed ser vi att om A och B till hör mängden nxn matriser så gör även A*B det. Dessutom ger det att varje matris A och B endast ger upphov till en specefik matris A*B.

Tekniken ovan duger för att jag ska kunna se att mina slutsatser är korrekta, hoppas att det finns någon som kan tipsa om ett bättre sätt att kommunicera uppgiften. Exempelvis är det inte tydligt att A*B är övertriangulär om man tittar på punkterna i tredje raden andra kolumnen då $a_{22} b_{22}$ och 0 kommer efter.

En matris $U^i_j$ är övertriangulär om $U^i_j=0$ då $i>j$

En matrismultiplikation mellan två nxn-matriser kan ses som $n^2$ stycken summor, varje summa $T^i_j$ på plats $i,j$ ges av

$\displaystyle T^i_j=\sum_{m=1}^n A^i_mB^m_j$

Låt oss studera fallet då $i>j$ .

Eftersom matrisen $A$ är övertriangulär inser vi att summornas första termer är noll fram till termen $A^i_iB^i_j$ eftersom $A^i_m=0$ då $i>m$ .

Men även $A^i_iB^i_j$ och efterföljande termer måste vara 0 eftersom $B^m_j=0$ då $m>j$ enligt vårt antagande ( $i>j$ ) och B övertriangulär.

Alltså är matriselementen $T^i_j=0$ då $i>j$ vilket betyder att matrisen $T$ är övertriangulär.

Hej Rasmus,

En matris $(a_{ij})$ är uppåt triangulär om $a_{ij} = 0$ för $j<i.$

Om $A$ och $B$ är två uppåt triangulära matriser så är produkten $AB$ också uppåt triangulär eftersom matriselementet $(AB)_{ij} =0$ då $j<i$ , vilket nedanstående beräkning visar.

Utgå från att $j<i$ . Elementet

$(AB)_{ij} = a_{ik}b_{kj}$ ,

där summation sker över $k\in\{1,\ldots,n\}.$

Här är $a_{ik} = 0$ om $k\in\{1,2,\ldots,i-1\}$ och $b_{kj} = 0$ om $k\in\{j+1,j+2,\ldots,n\}$ .

Vad händer när $k\in\{i,i+1,\ldots,j\}$ ? Detta inträffar inte eftersom $j<i$ .

Du ser att varje term i summan $(AB)_{ij}$ är noll, vilket betyder att $AB$ är uppåt triangulär.

Svara